УПРАЖНЕНИЯ
1. а) Укажите решение уравнения 6х+1=3(2х)+1:1) нет решений; 2) х - любое число; 3) х=0; 4) х=1.
б) Укажите решение уравнения 9х-4=3(3х)-4:
1) нет решений; 2) х - любое число; 3) х=0; 4) х=4.
Решение:
а) 6х+1=3(2х)+1;
6х+1=6х+1;
0=0, следовательно, корнем уравнения может быть любое число.
Ответ: х - любое число.
2. а) Укажите верное утверждение:
1) у любого параллелограмма все углы равны;
2) у любого параллелограмма диагонали равны;
3) у любого параллелограмма противолежащие стороны попарно равны;
4) у любого параллелограмма все стороны равны.
б) Укажите верное утверждение:
1) у любого ромба все углы равны;
2) у любого ромба диагонали равны;
3) около любого ромба можно описать окружность;
4) у любого ромба все стороны равны.
Решение:
а) Пункты 1, 2, 4 - не могут быть верными.
Ответ: у любого параллелограмма противолежащие стороны попарно равны.
3. а) Мама выполняет некоторую работу за 2 часа, а дочка эту работу - за 3 ч. Какую часть работы они сделают вместе за 1 час?
б) Папа выполняет некоторую работу за 4 часа, а сын эту работу - за 6 часов. Какую часть работы они выполнят за 1 час, если будут работать вместе?
Решение:
а) Пусть вся работа равна 1.
1) 1:2=1/2 (р.) - выполнит мама за 1 час.
2) 1:3=1/3 (р.) - выполнит дочь за 1 час.
3) 1/2+1/3=3/6+2/6=5/6 (р.) - выполнят вместе за 1 час.
Ответ: 5/6.
4. Решите уравнение:
а)
Ответ: 2.
5. Найдите область определения функции:
а)
Решим неравенство x2-6x-7≥0:
x2-6x-7=0,
D=36+28=64,
x1=(6+8)/2=7,
x2=(6-8)/2=-1.
Решим неравенство: 2-3x>0,
-3x>-2,
x<2/3.
Найдем общее решение:
D=(-∞; -1].
Ответ: (-∞; -1].
6. Решите неравенство:
Решение:
а)
Ответ: [-4,5; 5,5].
7. а) Сторона AD прямоугольника АВСD равна 40 см, высота, проведенная к диагонали АС из вершины D равна 24 см. Найдите сторону АВ прямоугольника.
б) Стороны АВ и AD прямоугольника ABCD равны 15 см и 20 см соответственно. Найдите длину высоты, проведенной из вершины В к диагонали АС.
Решение:а)
AD=40 см; DH AC; DH=24 см.
Найти: АВ - ?
Решение:
1) Найдем АН:
Треугольник AHD - прямоугольный, следовательно, AH2=AD2-HD2=1600-576=1024.
AH=32 см.2) Найдем НС:
Треугольник ACD - прямоугольный, DH - высота, проведенная к гипотенузе.
DH2=AH*HC,
576=32*HC, HC=18 см.
3) Найдем АС:
АС=АН+НС=32+18=50 см.
4) Найдем CD:
Треугольник ACD - прямоугольный, следовательно, СD2=AC2-AD2=2500-1600=900.
CD=30 см.
5) Найдем АВ:
Т.к. в прямоугольнике противолежащие стороны равны, то АВ=CD=30 см.
Ответ: 30 см.
8. Решите систему неравенств:
Решение:
а) Решим неравенство x2-3x+2≤0:
Решим неравенство: x2-2,25<0,
9. а) В реку впадает исток. Катер отходит от пристани А на истоке, идет вниз по течению 80 км до реки, далее по реке вверх против течения до пристани В, затратив 18 ч на весь путь от А до В. Затем катер возвращается обратно, затратив на путь от В до А 15 ч. Найдите расстояние от А до В и скорость истока, если собственная скорость катера равна 18 км/ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч.
Решение:
а) Пусть х - скорость истока, у - путь по реке. Составим и решим систему уравнений:
10. Докажите, что:
Решение:
а)
Треугольник ACD - прямоугольный, DH - высота, проведенная к гипотенузе.
DH2=AH*HC,
576=32*HC, HC=18 см.
3) Найдем АС:
АС=АН+НС=32+18=50 см.
4) Найдем CD:
Треугольник ACD - прямоугольный, следовательно, СD2=AC2-AD2=2500-1600=900.
CD=30 см.
5) Найдем АВ:
Т.к. в прямоугольнике противолежащие стороны равны, то АВ=CD=30 см.
Ответ: 30 см.
8. Решите систему неравенств:
Решение:
а) Решим неравенство x2-3x+2≤0:
x2-3x+2=0,
D=9-8=1,
x1=(3+1)/2=2,
x2=(3-1)/2=1.
x2-2,25=0,
x2=2,25,
x1=1,5,
x2=-1,5.
Найдем общее решение:
[1; 1,5).
x1=1,5,
x2=-1,5.
Ответ: [1; 1,5).
9. а) В реку впадает исток. Катер отходит от пристани А на истоке, идет вниз по течению 80 км до реки, далее по реке вверх против течения до пристани В, затратив 18 ч на весь путь от А до В. Затем катер возвращается обратно, затратив на путь от В до А 15 ч. Найдите расстояние от А до В и скорость истока, если собственная скорость катера равна 18 км/ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч.
б) Катер отходит от пристани А на реке, идет вниз по течению 50 км до истока, который впадает в эту реку, далее по истоку вверх против течения до пристани В, затратив 12 ч на весь путь от А до В. Затем катер возвращается обратно, затратив на путь от В до А 10 ч. Найдите расстояние от А до В и скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 20 км/ч, а скорость течения истока равна 2 км/ч.
Решение:
а) Пусть х - скорость истока, у - путь по реке. Составим и решим систему уравнений:
Вычтем из второго уравнения системы первое:
112(18+х)-80(18-х)=3(18-х)(18+х),
3x2+192x-396=0,
x2+64x-132=0,
D=4096+528=4624,
x1=(-64+68)/2=2,
x2=(-64-68)/2=-66 - не подходит по условию задачи.
2 км/ч - скорость истока.
Найдем расстояние от А до В:
80:(18+2)+у:15=18,
у:15=14,
у=14*15=210 км - путь по реке.
210+80=290 км - весь путь.
Ответ: 290 км, 2 км/ч.
Найдем расстояние от А до В:
80:(18+2)+у:15=18,
у:15=14,
у=14*15=210 км - путь по реке.
210+80=290 км - весь путь.
Ответ: 290 км, 2 км/ч.
10. Докажите, что:
Решение:
а)
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Укажите среди треугольников прямоугольные треугольники, если длины сторон треугольников равны:
а) 6 см, 5 см, 7 см; б) 5 см, 3 см, 4 см; в) 5 см, 13 см, 10 см.
2. Запишите числа в стандартном виде:
а) 5247; б) 0,00254; в) 1500000000.
3. Упростите выражение:
4. Решите уравнение:
|5y-35|=2.
5. Найдите область определения и область значения функции:
6. Решите неравенство:
7. Диагонали равнобедренной трапеции пересекаются под прямым углом. Найдите ее площадь, если средняя линия трапеции равна 10 см.
8. Решите систему неравенств:
9. Двое рабочих за одно и то же время изготовили 150 деталей. Если бы оба работали с производительностью первого рабочего, то для изготовления 150 деталей им бы потребовалось времени на 0,5 ч меньше, если бы оба рабочих работали с производительностью второго, то для изготовления 150 деталей им бы понадобилось на 0,75 ч больше. Сколько деталей изготовит второй рабочий за 10 ч?
10. Докажите, что:
