26. Четырехугольники

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Параллелограмм

Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма равны: AB=CD, AD=BC.

2. Противоположные углы параллелограмма равны:  A=C, B=D.

3.  Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам AO=OC, BO=OD.

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: d₁²+d₂²=2(a²+b²).

5. Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

6. Сумма внутренних углов параллелограмма 360°.

7. Сумма углов при двух соседних вершинах равна 180°.

Признаки параллелограмма

1. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

2. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

3. Если у четырехугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Площадь параллелограмма

1. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: S=BH*AD.

2. Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними: S=AB*AD*sin A.

---

Ромб

Параллелограмм у которого все стороны равны называется ромбом.

Свойства ромба

Так ромб является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: АС ┴ ВD.

2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

1. Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то этот  параллелограмм - ромб.

2. Если у параллелограмма одна из диагоналей лежит на биссектрисе, то этот параллелограмм - ромб.

Площадь ромба

1. Площадь ромба равна произведению его основания на высоту: S=СH*AВ.

2. Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла между сторонами: S=AB²*sin A.

3. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S=(d1*d2):2.

---

Прямоугольник

Параллелограмм, у которого все углы прямые называется прямоугольником.

Свойства прямоугольника

Так прямоугольник является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.

1. Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника

Если у параллелограмма диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: S = a*b.

---

Квадрат

Прямоугольник, у которого все стороны равны называется квадратом.

Свойства квадрата

Квадрату имеет все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника.

Площадь квадрата

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S=а²

---

Трапеция

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями (AD и  ВС), а две другие - боковыми сторонами (АВ и СD).

Трапеция, боковые стороны которой равны (АВ=СD), называется равнобедренной.

У равнобедренной трапеции углы при основании равны: A=D, B=C.

Диагонали равнобедренной трапеции равны: АС=BD.

Трапеция, у которой есть прямой угол называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции равна их полусумме: MN=(a+b):2.

Средняя линия трапеции делит высоту трапеции на два равных отрезка.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S =(a+b):2*h.

---

УПРАЖНЕНИЯ

1. а) Любой ли параллелограмм является ромбом:
1) Да;    2) Нет;     3) зависит от длин его сторон;   4) зависит от величин его углов.
    б) Любой ли параллелограмм является прямоугольником:
1) Да;    2) Нет;     3) зависит от длин его сторон;   4) зависит от величин его углов.
Решение:
а)зависит от длин его сторон.
Ответ: 3.

---

2. Является ли четырехугольник параллелограммом:

Решение:
а) В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, т.е. должно быть АО=ОС и ВО=OD, но ВО не равно OD ( 3 не равно 4).
Ответ: не является.

---

3. Найдите площадь закрашенной голубым цветом фигуры:

Решение:
а) Площадь прямоугольника ABCD равна 12*16=192.
Площадь квадрата KLMN равна 4*4=16.
Площадь фигуры, закрашенной голубым цветом равна 192-16=176.
Ответ: 176 кв.ед.

---

4. а) Сумма противоположных углов параллелограмма равна 160°. Найдите все углы параллелограмма.
    б) Сумма противоположных углов параллелограмма равна 20°. Найдите все углы параллелограмма.
Решение:
а) 

∠A+∠C=160°, т.к. противоположные углы параллелограмма равны, то ∠A=∠C=80°.
∠A+∠В =180° - по свойствам параллелограмма, тогда ∠В=180°-80°=100°.

Т.к. противоположные углы параллелограмма равны, то  ∠В=∠D=100°.

Ответ: 80°, 100°, 80°, 100°.

---

5. а) Периметр ромба равен 24 см, а один из углов равен 120°. Найдите большую диагональ ромба.

    б) Один из углов ромба равен 60°. Найдите периметр ромба, если его меньшая диагональ равна 4 см.

Решение:
а)

1) У ромба все стороны равны, тогда АВ=Р:4=24:4=6 см.

2) Пусть ∠A=120°, тогда большая диагональ ромба BD.

BD=BO+OD, т.к. диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3) ∠ВAО=120°: 2=60°, т.к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

4) Рассмотри треугольник АВО, он прямоугольный, т.к. диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

5) Найдем ВО:

ВО=АВ*sin ∠ВAО;

---

6.  а) Докажите, что биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD взаимно перпендикулярны.
     б) Докажите, что биссектрисы углов А и С параллелограмма ABCD параллельны.
Решение:
а)

Доказательство:

1) ∠DAК=∠ВКA как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АК.

2) ∠ВAК=∠КAD, т.к. АК - биссектриса угла BAD.

3) Следовательно, ∠ВAК=∠ВКA, тогда треугольник АВК - равнобедренный.

4) Биссектриса ВО в равнобедренном треугольнике АВК является и высотой, т.е. ВО перпендикулярно АК, а следовательно ВМ перпендикулярно АК.

Что и требовалось доказать.

---

7. а) Диагональ DB параллелограмма ABCD перпендикулярна стороне АВ. сosA=3/5. Сторона AD=20 см. Найдите площадь параллелограмма.
   б) Диагональ АС параллелограмма ABCD перпендикулярна стороне СD. sin CAD=2/3. Сторона AD=15 см. Найдите площадь параллелограмма.
Решение:

а)

Площадь параллелограмма может быть вычислена по формуле S=BD*AB.

1) Найдем АВ:

cos A=AB:AD, AB=AD*cos A=20*3/5=12 см.

2) Найдем BD:

По теореме Пифагора: BD²=AD²-AB²=400-144=256, BD=16 см.

3) Найдем площадь:

S=16*12=192 см²

Ответ: 192 см²

---

8. а) В равнобедренной трапеции с основаниями 10 см и 6 см диагонали перпендикулярны боковым сторонам. Найдите площадь трапеции.

    б) Площадь  равнобедренной трапеции равна 54 см². Средняя линия трапеции равна 9 см. Диагонали перпендикулярны боковым сторонам. Найдите основания трапеции.

Решение:
а) 

1) Треугольник ACD прямоугольный. Проведем к гипотенузе этого треугольника высоту СН.

HD=(AD-BC):2=(10-6):2=2 см, т.к. ABCD - равнобедренная трапеция.

2)CH²=АН*HD=10*2=20, 

2)

---

9. а) АМ и DM - биссектрисы параллелограмма ABCD. М лежит на стороне ВС параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, если АМ=4 см, DM=3 см.
    б) BМ и CM - биссектрисы параллелограмма ABCD. М лежит на стороне AD параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, если BМ=6 см, CM=4 см.
Решение:
а) 

1) Найдем угол AMD:

∠А+∠D=180° как углы при соседних вершинах. ∠МАD+∠ADM=(∠А+∠D):2=90°, т.к. АМ и DM - биссектрисы углов А и D.

Тогда ∠AMD=180-(∠МАD+∠ADM)=180-90=90°.

2) Треугольник AMD - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора найдем AD:

AD²=AM²+MD²=16+9=25, AD=5 см.

3) Найдем высоту параллелограмма.

МН - высота в прямоугольном треугольнике, а также и высота параллелограмма.

S_AMD = AM*MD:2=4*3:2=6 см.

S_AMD = MH*AD:2; 6=MH*5:2; MH=2,4 см

4) Найдем площадь параллелограмма:

S=MH*AD=2,4*5=12 см².

Ответ: 12 см².

---

10. а) В трапеции ABCD проведена прямая, параллельная основаниям, которая пересекает боковые стороны трапеции в точках E и F. Найти площадь трапеции AEFD, если площадь трапеции EBCF равна 20 см² и ВС=4 см, EF=8 см, AD=16 см.

     б) В трапеции ABCD проведена прямая, параллельная основаниям, которая пересекает боковые стороны трапеции в точках M и N. Найти площадь трапеции MBCN, если площадь трапеции  AMND равна 48 см² и ВС=4 см, MN=6 см, AD=9 см.

Решение:
а) 

1) Трапеции AEFD и EBCF подобны:

1. ∠1=∠2, ∠3=∠4 как соответственные углы при параллельных прямых EF и AD.

2. ∠5=∠6, ∠7=∠8 как соответственные углы при параллельных прямых EF и ВС.

2) Найдем коэффициент подобия:

k=EF:BC=8:4=2.

3) Площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате.

S_AEFD = S_EDCF *k²= 20*4=80 см².

Ответ: 80 см².

---

11. а) В параллелограмме ABCD отрезок CF пересекает диагональ BD в точке О (F лежит на стороне АD). Найдите площадь параллелограмма, если площади треугольников ODF и CDO раны 12 см² и 20 см² соответственно.

     б) В параллелограмме ABCD отрезок ВF пересекает диагональ АС в точке О (F лежит на стороне АD). Найдите площадь параллелограмма, если площади треугольников OFA и OBA раны 12 см² и 8 см² соответственно.

Решение:
а)

1) Проведем к CF  высоту DH.

Рассмотрим площади треугольников FOD и OCD:

S_ODF = DH*OE:2; 12= DH*OE:2;  DH*OF=24. (1)

S_CDO = DH*OC:2; 20 = DH*OC:2; DH*OC=40. (2)

Разделим выражение (2) на (1): OC:OF=40:24, OC:OF=5:3.

2) Треугольники BOC и FOD подобны по двум углам:

1. ∠FOD=∠BOC как вертикальные углы;

2. ∠СFD=∠FCB как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей FC.

3) Площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате.

S_BOC = S_FOD*k²=12*(5/3)²=100/3 см².

4) Найдем площадь треугольника BCD:

S_BCD= S_BCO + S_OCD=100/3+20=53 1/3 см².

5) Найдем площадь параллелограмма:

S_ABCD=2*S_BCD=106 2/3 см².

Ответ: 106 2/3 см².

---

12. а) Средняя линия трапеции равна 5 см, диагонали трапеции равны 14 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.

     б) Средняя линия трапеции равна 10 см, диагонали трапеции равны 14 см и 10 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:
а)

Дано: ABCD - трапеция; 

АС=14 см;

BD=8 см;

MN - средняя линия; MN=5 см.

Найти: S трапеции. 

1) AD+BC=2*MN=2*5=10 см.

2) AB+CD=BC+AD=10 cм.

3) Проведем прямую СЕ параллельно прямой BD. E - точка пересечения прямых AD и CE. 

DBCE - параллелограмм, т.к. две пары противолежащих сторон параллельны.

DE=BC и BD=CE=8 см, т.к. противолежащие стороны параллелограмма равны.

АЕ=AD+DE=AD+BC=10 см.

4) Найдем площадь треугольника АСЕ по формуле Герона:

р=(АС+СЕ+АЕ):2=(14+8+10):2=16 см.

5) Найдем площадь трапеции:

Треугольники ABC и CED имеют одинаковую площадь, т.к. их площади равны половине произведения высоты трапеции на равные стороны ВС и DE.

Тогда площадь трапеции равна площади треугольника АСЕ:

---

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это:
а) квадрат; б) ромб; в) трапеция; г) прямоугольник; д) параллелограмм.

2. Является ли четырехугольник параллелограммом, если одна пара его противоположных сторон равна, а другая параллельна?

3. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AB и CD сумма углов А, В, С равна 340°. Найдите все углы трапеции.

4. В параллелограмме ABCD угол А равен 60°, сторона ВС равна 10 см, высота  СН проведена из вершины С к стороне AD и АН=14 см. Найдите периметр параллелограмма.

5. Диагонали ромба относятся как 2:5. Найдите площадь ромба, если его периметр равен 10 см.

6. Площадь прямоугольника равна 54 см². Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника.

7. В параллелограмме ABCD к сторонам BC и DC проведены  высоты из точки А, угол между высотами равен 45° и одна из высот делит сторону DC на отрезки 3 см и 4 см, считая от вершины С. Найдите площадь параллелограмма.

8.  Найдите среднюю линию трапеции, если ее диагонали взаимно перпендикулярны и равны 12 см и 16 см.

9. Может ли четырехугольник с противоположными наборами сторон a и b,  c и d являться трапецией, если да, то найти ее площадь:
а) a=5 см, b=4 см, c=6 см, d=3 см;      б) a= 3 см, b=4 см, c=5 см, d=3 см.

10. Площадь трапеции ABCD равна 100 см². Из середины стороны АВ к стороне CD проведен перпендикуляр, который равен 16 см. Найдите боковую сторону CD.

---

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

---