МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Обратная пропорциональность
Если переменная у обратно пропорциональная переменной х, то эта зависимость выражается формулой
k - коэффициент обратной пропорциональности.
Например:
Область определения функции 
есть множество всех чисел, отличных от нуля.
есть множество всех чисел, отличных от нуля.
Графиком обратной пропорциональности является гипербола. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и в III координатных четвертях: если k<0, то ветви гиперболы расположены во II и в IV координатных четвертях.
График функции строится по точкам, для этого составляют таблицу значений функции:
x
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
y
|
k:(-4)
|
k:(-3)
|
k:(-2)
|
k:(-1)
|
k:1
|
k:2
|
k:3
|
k:4
|
Свойства функции
1. Область определения: D(y)=(-∞; 0) U (0; +∞).
2. Множество значений: Е(у)=(-∞; 0) U (0; +∞).
3. Функция не имеет минимального и максимального значения.
4. Нули функции: функция не имеет нулей.
5. Промежутки знакопостоянства функции:
если k>0: y<0 при х ∈(-∞; 0);
y>0 при х ∈(0; +∞);
если k<0: y<0 при х ∈(0; +∞);
y>0 при х ∈(-∞; 0).
6. Промежутки монотонности:
если k>0 функция убывает на промежутке (-∞; 0) U (0; +∞);
если k<0 функция возрастает на промежутке (-∞; 0) U (0; +∞).
Функция у=x3
График функции строится по точкам, для этого составляют таблицу значений функции:
x
|
-2,5
|
-2
|
-1,5
|
-1
|
1
|
1,5
|
2
|
2,5
|
y
|
-15,625
|
-8
|
-3,375
|
-1
|
1
|
3,375
|
8
|
15,625
|
Свойства функции
1. Область определения: D(y)=(-∞; +∞).
2. Множество значений: Е(у)=(-∞; +∞).
3. Функция не имеет минимального и максимального значения.
4. Нули функции: х=0.
5. Промежутки знакопостоянства функции:
y<0 при х ∈(-∞; 0);
y>0 при х ∈(0; +∞).
6. Промежутки монотонности:
функция возрастает на промежутке (-∞; +∞).
Функция квадратного корня
Функцией арифметического корня называют функцию, заданную формулой
Т.к. выражение имеет смысл только при неотрицательных значениях х, то функция задается на промежутке (0; +∞).
График функции строится по точкам, для этого составляют таблицу значений функции:
x
|
0
|
4
|
9
|
16
|
y
|
0
|
2
|
3
|
4
|
Свойства функции
1. Область определения: D(y)=[0; +∞).
2. Множество значений: Е(у)=[0; +∞).
3. Функция не имеет максимального значения; минимальное значение равно 0.
4. Нули функции: х=0.
5. Промежутки знакопостоянства функции:
y>0 при х ∈(0; +∞).
6. Промежутки монотонности:
функция возрастает на промежутке [0; +∞).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Графиком каких из функций является гипербола?
Решение:
а) График функции у=k/x - гипербола, следовательно гипербола является графиком функции у=1/х.
Ответ: 3)
2. Из данных функций укажите те, график которых проходит через начало координат:
Решение:
а) Если график функции проходит через начало координат, то при х=0 у=0.
Следовательно графики функций
проходят через начало координат.
Ответ: 1), 3), 4), 5).
3. а) График обратной пропорциональности проходит через точку с координатами (2; -2). Найдите коэффициент обратной пропорциональности.
б) График обратной пропорциональности проходит через точку с координатами (4; 1,75). Найдите коэффициент обратной пропорциональности.
Решение:
а) Формула обратной пропорциональности y=k/x. Подставим вместо х и у координаты точки (2; -2) и найдем коэффициент k.
-2=k:2; k=-4.
Ответ: -4.
4. Укажите функции, областью определения которых являются все действительные числа:
Решение:
а) Область определения функции ограничена, если в формуле, которой задана функция есть квадратные корни и знаменатели, которые могут принимать значение 0 при некоторых значениях х. Область определения - все действительные числа у функций:
Ответ: 1), 4).
5. Из указанных функций
выберите обратную пропорциональность, график которой расположен:
а) в I и III координатных четвертях;
б) во II и IV координатных четвертях.
Решение:
а) в I и III координатных четвертях находятся графики обратной пропорциональности с коэффициентом k>0.
Ответ: 3), 4).
6. Переменные х и у обратно пропорциональны.
а) Известно, что при х=0,5 у=12. Найдите значение у при х=-2;
б) известно, что при х=1,5 у=-6. Найдите значение у при х=2.
Решение:
а) Составим формулу обратной пропорциональности, для этого в формулу y=k/x подставим значения х=0,5 и у=12, найдем коэффициент k.
12=k:0,5; k=12*0,5=6. Обратная пропорциональность задана формулой у=6/х. Подставим в эту формулу х=-2: у=6: (-2)=-3.
Ответ: -3.
7. Найдите область определения функции:
Решение:
а) Выражение под корнем (4х-1)(х+0,5) должно быть неотрицательным. Решим неравенство:
(4х-1)(х+0,5)≥0,
Найдем нули функции (4х-1)(х+0,5)=0:
4х-1=0 или х+0,5=0
х=0,25 х=-0,5
Решим неравенство методом интервалов:
Ответ: (-∞; -0,5]U[0,25; +∞).
8. а) Найдите значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения
б) Найдите значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения
Решение:
а) Рассмотрим неравенство
Умножив обе части неравенства на (-1) получим:
Числитель равен 3 - положительное число, знаменатель тоже является положительным числом, следовательно дробь положительна на области определения. Найдем область определения функции:
16-x2>0,
x2<16,
|x|<4.
Ответ: (-4; 4).9. График какой из функций симметричен относительно начала координат? Постройте график выбранной функции:
Решение:
а) Симметричен относительно начала координат график функции у=0,5x3
Построим таблицу значений функции:
Построим таблицу значений функции:
x
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
y
|
-13,5
|
-4
|
-0,5
|
0
|
0,5
|
4
|
13,5
|
Построим график:
10.Постройте график функции:
Решение:
x
|
-3
|
-2
|
0
|
1
|
2
|
3
|
y
|
-3
|
-6
|
6
|
3
|
2
|
1,5
|
11. а) Построив графики функций у=5-х и
Найдите количество корней уравнения 
б) Построив графики функций у=-2-х и y=x3 найдите количество корней уравнения -х-2=x3
Решение:
а) Графиком функции y=5-x является прямая, для ее построения найдем координаты двух точек:
Таблица значений функции :
x
|
0
|
1
|
y
|
5
|
4
|
:
x
|
0
|
1
|
4
|
9
|
y
|
0
|
1
|
2
|
3
|
Построим оба этих графика в одной системе координат и найдем их точку пересечения:
12. Найдите область определения функции:
Решение:
а) Выражения под корнем должны быть неотрицательны. Решим систему неравенств:
Ответ: [4; +∞).
13. Постройте графики функций и найдите точки пересечения графика с осями координат:
Решение:
a) Графиком данной функции является гипербола. Построить можно выполнив сдвиг графика функции у=3/х на 3 единицы вправо и на две единицы вверх.
Построим таблицу значений функции:
x
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
2
|
3
|
4
|
y
|
4,4
|
4,25
|
4
|
3,5
|
2
|
8
|
6,5
|
6
|
График с осями координат имеет две точки пересечения.
14. а) Докажите, что данная функция убывает на промежутке (3; +∞);
б) Докажите, что данная функция возрастает на промежутке (-2; +∞):
Решение:
а) Найдем область определения функции
D=(-∞; 3)U(3; +∞).
Рассмотрим х1 и х2, принадлежащие промежутку (3; +∞) такие, что x1>x2.
Тогда
Найдем разность у1-у2:
Т.к. x1>x2, то числитель будет отрицательным числом. (х1-3) и (х2-3) на промежутке (3; +∞) будут положительными числами, следовательно у1-у2<0.
Т.к. х1>x2 и y1-y2<0, то функция убывает на промежутке (3; +∞).
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. В каких координатных четвертях расположен график функции, заданный формулой:
а) у=-0,9/х; б) у=1,4/х?
2. Из числовых промежутков (-∞; 5], (0;+∞), (5; +∞) и [5;+∞) выберите тот, который является областью определения функции
3. Какой из графиков функций, заданных формулами не проходит через начало координат
4. Найдите область определения функции, заданной формулой:
5. Постройте график функции, заданной формулой:
6. а) График обратной пропорциональности проходит через точку А(8; 4). Найдите значение этой функции при х=-10.
б) График обратной пропорциональности проходит через точку А(-16; 2). Найдите значение этой функции при х=5.
7. Найдите точки пересечения с осью Оу графика функции, заданного формулой:
8. Постройте график функции и укажите нули функции, если они существуют:
9. Докажите, что при х≥1 функция возрастает
10. Найдите область определения функции:
