16. Квадратичная функция

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ


Квадратичная функция


Функция, заданная формулой y=ax2+bx+c, где х,у - переменные, а a,b,c - заданные числа, причем a≠0, называется квадратичной.

Например:
y=2x2+3x+1;  y=0,5x2;    y=-5x2+4x-2;   y=4x2+3.

Графиком квадратичной функции является парабола.
Если a>0, то ветви параболы направлены вверх; если a<0, то ветви параболы направлены вниз.
Осью симметрии параболы служит прямая: 
Координаты вершины  параболы определяются по формулам:
Квадратичную функцию  y=ax2+bx+cможно привести к виду  y=a(k+x)2+p путем выделения полного квадрата. Точка (-k; p) - вершина параболы.


Способ построения графика квадратичной функции

1. Определить направление ветвей параболы.
2. Найти координаты вершины параболы по формулам:
3. Определить точки пересечения параболы с осью ОХ, для этого решить уравнение
ax2+bx+c=0, если D<0, то график функции не пересекает ось ОХ; если D=0, то график функции пересекает ось ОХ в точке, которая является вершиной параболы; если D>0, то график пересекает ось ОХ в двух точках.
4. Найти точку пересечения графика функции с осью ОУ, т.е решить уравнение у=с.
5. Отметить точки и соединить непрерывной линией.


Свойства квадратичной функции

1. Область определения: D=(-∞; +∞).

2. Множество значений:
если a>0: Е=[-D/(4a); +∞);
если a<0: Е=(-∞; -D/(4a].

3. Наибольшее и наименьшее значение:
если a>0: минимальное значение равно -D/(4a), максимального значения не существует;
если a<0: максимальное значение равно -D/(4a), минимального  значения не существует.

4. Нули функции:
если D<0, то нулей нет;
если D=0, то один нуль х1=-b/(2a); 
если D>0, то два нуля: 



5. Промежутки знакопостоянства:

если a>0

и D>0: функция положительна (-∞; х1) U (x2; +∞); функция отрицательна - (x1; x2);

и D=0: функция положительна (-∞; х1) U (x1; +∞);

и D<0: функция функция отрицательна (-∞; х1) U (x2; +∞);  положительна - (x1; x2);

если a<0

и D>0: функция функция отрицательна (-∞; х1) U (x2; +∞);  положительна - (x1; x2);

и D=0: функция отрицательна (-∞; х1) U (x1; +∞);

и D<0: функция положительна (-∞; х1) U (x2; +∞); функция отрицательна - (x1; x2).



6. Промежутки монотонности:

если a>0:

возрастает на промежутке [-b/(2a); + ∞); убывает на промежутке (- ∞;-b/(2a)];

если a<0:

возрастает на промежутке  (- ∞;-b/(2a)]; убывает на промежутке [-b/(2a); + ∞).


УПРАЖНЕНИЯ

1. Графиком какой из функций является парабола:
Решение:
Ответ: 

2. а) Укажите рисунок, на котором схематически изображен график функции  у=-2x2+1.
    б) Укажите рисунок, на котором схематически изображен график функции  у=2x2-1.
Решение:
а) у=-2x2+1, a=-2, следовательно ветви параболы направлены вниз; с=1, следовательно парабола пересекает ось ОУ в точке (0; 1). График функции изображен на рисунке 3.
Ответ: на рисунке 3)

3. Найдите координаты точек пересечения параболы и прямой:
а) у=5x2-3 и у=3;
б) у=-2x2-1 и у=-2.
Решение:
а) Решим систему из двух уравнений:

4. Выберите промежуток, который является областью значений функции:
а) у=5x2-1,2
1) (-∞; -1,2];  2) [1,2; +∞);  3) (-∞; 1,2]; 4) [-1,2; +∞); 5) (-∞; +∞);
б) у=-6x2+ 0,5
1) (-∞; -0,5];  2) [0,5; +∞);  3) (-∞; 0,5]; 4) [-0,5; +∞); 5) (-∞; +∞).
Решение:
а) Графиком функции у=5x2-1,2 является парабола, т.к. а=5 - положительное число, то ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы имеет координаты (0; -1,2). Область значения функции [-1,2; +∞).
Ответ:  4) [-1,2; +∞).


5. Какую из прямых пересекает график функции:
а) график у=-3x2; прямые: у=-0,5;  у=6,5;  у=0.
б) график у=4x2; прямые: у=-7,5;  у=2,5;  у=0.
Решение:
а) Графиком функции у=-3x2 является парабола, т.к. а=-3 - отрицательное число, то ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы имеет координаты (0; 0). Область значения функции (-∞; 0]. Следовательно, график функции у=-3x2  пересекает прямые у=-0,5;  у=0.


6. Найдите значения аргумента, при которых значения функции неотрицательны:
а) y=x2-3x-4;  б) y=-2x2+x+1.
Решение:
а) Т.к. значения функции неотрицательны, то y≥0 и х2-3х-4≥0. Решим это неравенство:
х2-3х-4=0;
D=9+16=25;
x1=4, x2=-1.
Ответ: (-∞; -1] U [4; +∞).


7. Найдите координаты вершины параболы:
а) y=6+x2+3x;   б) y=2-x2+4x.
Решение:
а) y=6+x2+3x; 
a=1; b=3; c=6. Найдем дискриминант D=9-24=-15.
Координаты вершин:
Ответ: (-1,5; 3,75).
8. Какая прямая является осью симметрии параболы:
а) y=(2+х)(5-х);   б) y=-2(x-3)(х+3).
Решение:
а) y=(2+х)(5-х); Раскроем скобки:  y=-x2+3x+10.
Осью симметрии параболы служит прямая: 
х=-3 : (-2)=1,5.
Ответ: х=1,5.


9. Постройте график функции и укажите множество ее значений:
а) y=x2-4x-5;  б) y=-2x2+6x-5.
Решение:
а) Графиком функции y=x2-4x-5 является парабола. 
1. Найдем координаты вершины параболы:
х=2; у=-9. Вершина (2; -9).
2. Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ:
Решим уравнение x2-4x-5=0. D=36;  x1=5, x2=-1. Точки пересечения (-1; 0) и (5; 0).
3. Найдем точку пересечения с осью ОУ:
у=-5. Точка пересечения (0; -5).
Через данные точки построим параболу.
Множество значений функции Е=[-9; +∞).


10. Найдите область определения функции:
Решение:
а) Область определения данной функции зависит от знаменателя: x2-4x-5 не должно быть равно нулю.
Решим уравнение x2-4x-5=0.
D=16+20=36; x1=5, x2=-1.
Следовательно,  функция не может принимать значения при х=-1 и х=5.
Ответ: (-∞; -1) U (-1; 5) U (5; +∞).


11. Найдите координаты точек пересечения параболы с осями координат:
 а) y=-x2-9x-20;  б) y=-x2+11x-30.
Решение:
 а) y=-x2-9x-20.
1. Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ:
Решим уравнение -x2-9x-20=0. D=81-80=1;  x1=-4, x2=-5. Точки пересечения (-5; 0) и (-4; 0).
2. Найдем точку пересечения с осью ОУ:
х=0 и у=-20. Точка пересечения (0; -20).
Ответ: ОХ: (-5; 0) и (-4; 0); ОУ: (0; -20).
12. Используя изображение параболы y=ax2+bx+c определите знаки коэффициентов a, b, c:
Решение:
а) Т.к. ветви параболы направлены вверх, то коэффициент а>0.
Вершина параболы расположена ниже оси ОУ, следовательно с<0.
Координата х вершины параболы положительна, следовательно из формулы нахождения вершины параболы х=-b/(2a) видим, что х может быть положительным при положительном коэффициенте а только тогда, когда коэффициент b будет отрицательным.
Ответ: a>0; b<0; c<0.
13. а) Вершина параболы y=a(k+x)2+p - точка Т(-3; 4). Найдите значение а, если парабола проходит через точку К(-4; 6);
      б) Вершина параболы y=a(k+x)2+p - точка Т(1; 2). Найдите значение а, если парабола проходит через точку К(3; -10).
Решение:
а) подставим в формулу y=a(k+x)2+p  k=3, p=4, т.к. вершина параболы проходит через точку Т(-3; 4); х=-4; у=6, т.к. парабола проходит через точку К(-4; 6). Получим:
6=а(3-4)2 +4;
6=а+4;
а=2;
Ответ: 2.
14. Найдите все значения n, при которых графики функции пересекаются в двух точках:
  а) y=7x2-n;  y=x2-2x+2n;   б) y=6x2+n;  y=x2-4x-5n.
Решение:
а) Если графики функций  y=7x2-n;  y=x2-2x+2n  пересекаются в одной точке, то значения у равны и 7x2-n=x2-2x+2n. Решим уравнение.
6x2+2х-3n=0;
D=4+4*6*3n=4+72n. По условию графики пересекаются в двух точках, следовательно D>0.
Решим неравенство 4+72n>0; 72n>-4; n>-4 : 72; n>-1/18.
Ответ: (-1/18; +∞).
15. Вершина параболы - единственная точка пересечения параболы и прямой. Задайте эту прямую (или прямые, если их несколько) формулой.
 а) y=-8x2+4x-6;  б) y=6x2-2x+4.
Решение:
а) y=-8x2+4x-6.
1. Т.к. прямая имеет с параболой единственную точку пересечения, то они могут пересекаться в вершине параболы. Найдем координату у вершины: 
Прямая параллельна оси ОХ и уравнение прямой у=5,5.
2. Также прямая может быть параллельна оси ОУ, уравнение такой прямой х=-b/(2а)=0,25
Все остальные прямые будут иметь две точки пересечения, либо не иметь их вообще.
Ответ: у=5,5 и х=0,25.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ


 1. Из функций выберите квадратичные функции:
у=2x2-3x;  y=(x-1)2-4;   y=3x+2;   y=3x2;   y=x2+3x3-8;  y=x2.

2. Принадлежит ли точка с координатами (1; 0) графику функции у=2x2-3x+1?

3. Найдите абсциссы ( х ) точек пересечения графиков функций  у=0,5x2-1 и у=2х+0,5.

4. Укажите координаты вершины параболы:
а) y=2x2+3x+1;   б) y=-x2+4x-5.
5. Найдите промежутки возрастания и убывания функции  y=6x2-13x-5.

6. Постройте график функции y=-(x-2)2-1;  и укажите промежутки знакопостоянства функции.

7. Найдите координаты точек пересечения параболы  y=-4x2+x-1;с прямой у=-4.

 8. Найдите нули функции:

9. Задайте формулой квадратичную функцию, график которой изображен на рисунке:

10. Графики функций  y=x2+bx+c и у=2х-3 пересекаются в точке с абсциссой 1, а один из нулей функции y=x2+bx+c равен 2. Найдите c и b.



Проверь себя


Подписаться на: Сообщения (Atom)