Математика по полочкам: 17. Функции, содержащие знак модуля. Расстояние между точками

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Функции, содержащие знак модуля

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число а, если оно неотрицательно, и противоположное число (-а), если число а отрицательно.

При построении графиков функций, содержащих знак модуля, применяются те же приемы, что и при решении уравнений с модулем. Также при построении графика функции можно воспользоваться геометрическими преобразованиями.

Пример. Построить график функции y =|x|.

Первый способ.
Раскроем знак модуля согласно его определению:

y = x при x ≥ 0,

y = −x при x < 0.

Таким образом, искомый график совпадает с графиком функции y = x при x ≥ 0 и с графиком функции y = −x при x < 0. Cтроим график.

Второй способ.

Можно рассматривать функцию y = |x| как модуль функции y = x. Т.к. модуль не может принимать отрицательные значения, то график в верхней полуплоскости останется прежним, а график в нижней полуплоскости отразится в верхнюю полуплоскость симметрично координатной оси ОХ.

Пример. Построить график функции y=|x2-2x-3|.

Построим график функции у= x2-2x-3, после чего отразим часть графика, которая находится в нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость симметрично координатной оси ОХ.

1. Вершина параболы имеет координаты: х=1, у=-4.
2. Пересечение с осью ОХ: D=16, х1=3, x2=-1.

3. Пересечение с осью ОУ: у=-3.

4. Ветви параболы направлены вверх.

Пример. Построить график функции y = |x| − |2 − x| .

Так как знак модуля входит в два различных слагаемых, то его нужно "снимать" тем же методом, который применяется при решении уравнений и неравенств:

Решим x=0 и 2-х=0, х=2.

Рассмотрим значение функции на трех промежутках:

1. x≤0: y=-x-2+x; y=-2.

2. 0<x≤2: y=x-2+x; y=2x-2.

3. x>2: y=x+2-x; y=2.

Построим график функции:

Пример. Построить график функции y=x2-2|x|-3.

При х≤0 y=x2+2x-3.

При x>0 y=x2-2x-3.

Построим график функции y=x2+2x-3 и оставим только ту часть графика, где х≤0.

Построим график функции y=x2-2x-3 и оставим только ту часть графика, где х>0.

Расстояние между точками

Расстояние между двумя точками A1(x1;y1) и A2(x2;y2) в прямоугольной системе координат выражается формулой:

Пример. Найти расстояние между точками А1(-2; 1) и А2(2; 3).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Какие из уравнений задают функцию от х?
а) 1) y=5x²+x-1; 2) 4y²=2x+3;   3) |y|=3x;   4) x=y²+1.
б) 1) |y-1|=x;   2) x²=y²+9    3) 10,5y²=-2x;   4) y=-x²+4x-1.
Решение:
а) По определению функции  каждому значению х должно соответствовать единственное значение у. Следовательно, уравнение  y=5x²+x-1 задает функцию у от х.

2. а) При каких значениях х значения функции y=|x-2| больше 3?

б) При каких значениях х значения функции y=|3-х| больше 4?

Решение:

а) Значение функции больше 3, т.е.y>3 и, следовательно|x|>3.

Ответ: (-∞; -3) U (3; +∞).

3. а) Найдите количество корней уравнения |x|=2-x², построив графики функций y=|x| и y=2-x².

б) Найдите количество корней уравнения -|x|=x²-2, построив графики функций y=-|x| и y=x²-2.

Решение:

а) Построим графики функций y=|x| - функция модуля и y=2-x²- парабола.

y=2-x²- ветви направлены вниз, вершина х0=0, у0=2.

Количество точек пересечения графиков данных функций - это количество корней уравнения.

Ответ: 2.

4. Найдите область определения функций:

Решение:

а) Т.к. функция содержит арифметический корень, то |x|-6≥0.
Решим это неравенство:
|x|-6≥0;
|x|≥6;
x≥6 или х≤-6.
Ответ: (-∞; -6) U (6; +∞).

5. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если:

а) A(3; 2), В(1; -2), а точки С и D симметричны вершинам А и В относительно начала координат;

б) A(-4; 2), D(-1; -2), а точки С и D симметричны вершинам А и В относительно начала координат.

Решение:

а) Построим точки A(3; 2), В(1; -2). Точка С симметрична точке А относительно начала координат, следовательно С(-3; -2). Точка D симметрична точке B относительно начала координат, следовательно B(-1; 2).
Построим параллелограмм:

Найдем площадь параллелограмма: высоту умножим на сторону к которой она проведена.

S=4*4=16.

Ответ: 16

6. Найдите расстояние между точками А и В, если точка А - вершина параболы, а точка В - точка пересечения параболы с осью ОУ:

а) парабола y=x²+2x-15; б) парабола y=x²+4x-12.

Решение:

а) Найдем вершину параболы y=x²+2x-15:
х0=-2:2=-1; у0=1-2-15=-16.
Точка А имеет координаты (-1; -16).
Точка В - точка пересечения параболы с осью ОУ, следовательно точка В имеет координаты (0; -15).
Найдем расстояние между точками А и В:

7. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции:

а) y=|3x-6|-4; б) y=|2x-4|-3.

Решение:

7. а) y=|3x-6|-4.

Найдем нули функции:

|3x-6|-4=0;

|3x-6|=4;

3х-6=4 или 3х-6=-4

3х=10 или 3х=2

Найдем промежутки знакопостоянства функции:

Функция принимает положительные значения на промежутках (-∞; 2/3) U (3 1/3 ; +∞).

Функция принимает отрицательные значения на промежутке (2/3; 3 1/3).

8. Найдите область определения функции и постройте ее график:

Решение:

а) Найдем область определения функции:

|x-2|≠0

x≠2. D=(-∞; 2)U(2; +∞).

Для построения графика данной функции упростим ее:

Построим график функции y=|x+2|на области определения D=(-∞; 2)U(2; +∞).

Если х+2≥0, то у=х+2.

Если х+2≤0, то у=-х-2.

На промежутке (-∞; -2) строим график функции у=-х-2, на промежутке (-2; +∞) строим график функции у=х+2.

9. Постройте график функции:

Решение:

Область определения выражения D=(-∞; -1)U(-1; +∞).

Разложим числитель на множители:

0,5х²-0,5х-1=0

D=0,25+2=2,25

x₁=2, x₂=-1

0,5x²-0,5x-1=0,5(x-2)(x+1).

Рассмотрим х+1>0; x >-1:

Рассмотрим х+1<0; x <-1:

Построим график функции на области определения

10. а) Изобразите на координатной плоскости фигуры, которые образуют точки с координатами (х; у), если координаты удовлетворяют условиям: 1≤|x|≤4, 2≤|y|≤3. Найдите сумму площадей полученных фигур.

б) Изобразите на координатной плоскости фигуры, которые образуют точки с координатами (х; у), если координаты удовлетворяют условиям: 2≤|x|≤4, 1≤|y|≤5. Найдите сумму площадей полученных фигур.

Решение:

а) Из неравенства 1≤|x|≤4 следует, что |x|≤4 и |x|≥1. Значит -4≤х≤4 и х≤-1 или х ≥1.
Из неравенства 2≤|у|≤5 следует, что |у|≤5 и |у|≥2. Значит -5≤у≤5 и у≤-2 или у ≥2.
Обозначим на координатной плоскости решения данных неравенств:

На пересечении решений каждого из неравенств мы получили четыре прямоугольника S1, S2, S3, S4. Площадь фигур S1+S2+S3+S4 равна 4*3=12.
Ответ: 12.

11. Постройте график функции и укажите промежутки возрастания и убывания функции:
а) y=|x²-2x|; б) y=|x²+4x|.
Решение:

а) y=|x²-2x|. Построим график функции y=x²-2x и отразим часть графика, которая находится в нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость симметрично координатной оси ОХ.
График функции y=x²-2x - парабола. Вершина (1; -1). Нули функции: х=0; х=2.

Функция возрастает: [0; 1] U [2; +∞).
Функция убывает: (-∞; 0) U (1; 2).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Определите, проходит ли график функции y=|x-4|+2 через точки
а) А(1; 5); б) В(1; -5).

2. Найдите расстояние между точками А и В, если:
а) А(-5; -4), В(2; 1); б) А(-2; 1), В(2; 3).

3. Укажите область определения функции, заданной формулой: