25. Равенство треугольников. Подобие треугольников


Признаки равенства треугольников

1 признак: признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними
Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углу между ними, то такие треугольники равны.

2 признак:  признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

 3 признак: признак равенства треугольников по трём сторонам
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.


Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам
Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу
Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.


Подобие треугольников

Треугольники ABC и KLM  называют подобными треугольниками, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.


Отношение соответствующих сторон обозначается  k - коэффициент подобия треугольников.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по двум углам
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по трём сторонам
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

УПРАЖНЕНИЯ

1. По какому признаку равны треугольники?
Решение:
а) Треугольник ВАС равен треугольнику MKL по 1 признаку равенства треугольников:
1. ВА=МК;
2. ВС=ML;
3. знак углаВ=знак углаМ=40°
Ответ: по 1 признаку равенства треугольников.

2. Укажите подобные треугольники:
Решение:
а) Рассмотрим треугольники АВС и MNK:
NK:AB=12:6=2;   MN:AC=14:7=2;   MK:BC=6:3=2. Треугольники АВС и NKM подобны по трем сторонам.
Рассмотрим треугольники АВС и OPR:
AB:OP=6:3=2;   AC:OR=7:4=7/4, т.к. отношения сторон не равны, то  и треугольники АВС и OPR не подобны, а также и треугольники MNK и OPR не могут быть подобны.
Ответ: АВС и MNK.
3. а) В четырехугольнике АВCD АВ=CD, знак углаВАС=знак углаАСD. Доказать, что треугольники АВС и АСD равны.
   б) В четырехугольнике АВСD АВ=СD, AD=BC. Доказать, что треугольники ABD и BCD равны.
Решение:
а) 
ΔABC=ΔACD по первому признаку равенства треугольников:
1) ∠BAC=∠ACD по условию;
2) АС - общая сторона;
3) АВ=CD по условию.

Что и требовалось доказать.

4. Треугольники подобны. Найдите х.
Решение:
а) Так как треугольники подобны, найдем отношение их сторон: 14:7=2 и 8:4=2, тогда х:6=2, х=6*2=12
Ответ: 12.


5. а) Дерево отбрасывает тень, длина которой 10 м, а длина тени человека ростом 1,8 м равна 2,4 м. Найдите высоту дерева.
    б) Дом, высотой 15 м отбрасывает тень, длина которой равна 21 м. Найдите рост человека, если длина его тени равна 2,5 м.
Решение:
а) Пусть высота дерева - х м. Высота дерева относится к росту человека так же, как и тень дерева к тени человека:
х:1,8=10:2,4;
х=1,8*10:2,4=7,5 (м).
Ответ: 7,5 м.
6. а) Докажите, что треугольники АВС и DFС равны, если АВ=DF, BF=AD.
    б) Докажите, что треугольники АВD и DFB равны, если треугольники АВС и DFC равны.
Решение:
а) Рассмотрим треугольники ABD и FDB. Они равны по 3 признаку равенства треугольников, т.к.:
1) BD - общая сторона;
2) АВ=DF по условию;
3) BF=AD по условию.
Из равенства треугольников ABD и FDB следует равенство соответствующих элементов, т.е. ∠A=∠F.
Рассмотрим треугольники АВС и FDC. Они равны по 2 признаку равенства треугольников:
1) ВА=DF по условию;
2) ∠A=∠F по доказанному;
3) ∠ABC=∠CDF, т.к. ∠ABC=∠ABD-∠DBF и ∠CDF=∠BDF-∠ADF.
Что и требовалось доказать.


7. а) Доказать, что если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный.
    б) Доказать, что если в треугольнике биссектриса является высотой, то треугольник - равнобедренный.
Решение:
а) 
Рассмотрим прямоугольные треугольники АВК и СВК, они равны по двум катетам:
1) ВК - общая сторона;
2) АК=КС, т.к. ВК - медиана.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов и АВ=СВ.
Т.к. две стороны треугольника равны,  он - равнобедренный.
Что и требовалось доказать.
8. а) Треугольники АВС и КLM - подобны. KL=3 см, LM=4 cм, KM=5 см. Найти стороны треугольника АВС, если АС-АB=5 см.
    б) Треугольники АВС и КLM - подобны. KL=2 см, LM=3 cм, KM=4 см. Найти стороны треугольника АВС, если АС-BС=1,5 см.
Решение:
а) 
1) Обозначим сторону АВ как х, тогда АС=х+5.
Из подобия треугольников АВС и KLM получим: АС:KM=AB:KL. 
(x+5):5=x:3,
3x+15=5x,
х=7,5 (см) - сторона АВ.
2)  АС=АВ+5=7,5+5=12,5 (см)
3) Из подобия треугольников АВС и KLM получим: АС:KM=ВС:KМ. 
12,5:5=ВС:4,
ВС=4*12,5:5=10 (см)
Ответ: 7,5 см, 10 см, 12,5 см.


9. а) Докажите, что треугольники АВС и KBL подобны.
    б) Докажите, что треугольники АВС и KCL подобны.
Решение:
а) Рассмотрим треугольники ВАL и BCK, они подобны по двум углам:
1. ∠BLA=∠BKC=90°;
2. ∠B - общий.
Из подобия треугольников получим, что BK:BL=BC:AB или BK:BC=BL:AB.
Рассмотрим треугольники KBL и АВС, они подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними:
1. BK:BC=BL:AB по доказанному;
2. ∠B - общий.
Что и требовалось доказать.
10. а) В прямоугольном треугольнике, биссектриса, проведенная из вершины к катету делит его на отрезки 4 см и 5 см. Найдите площадь треугольника.
      б) В прямоугольном треугольнике, биссектриса, проведенная из вершины к катету делит его на отрезки 9 см и 15 см. Найдите площадь треугольника.
Решение:
а) 
По свойству биссектрисы: АВ:ВС=АО:ОС; АВ*ОС=ВС*АО.
Пусть АВ=х, тогда по теореме Пифагора ВС2=АВ2+АС2, ВС2=х2+81.
По свойству биссектрисы: АВ:ВС=АО:ОС; АВ*ОС=ВС*АО.
S=12*9:2=54 см2
Ответ: 54 см2


11. а) Доказать, что произведения площадей противоположных треугольников, образованных диагоналями выпуклого четырехугольника равны.
      б) В выпуклом четырехугольнике проведены отрезки, которые соединяют середины его сторон. Доказать, что суммы площадей полученных противоположных четырехугольников равны.
Решение:
а) 
Докажем, что SABO * SCOD = SBOC*SODA.
SABO =с*а* sin∠ВОА:2.
SCOD = b*d* sin∠СОD:2.

SBOC= с*b* sin∠BОC:2.

SODA=a*d* sin∠AОD:2.  


∠ВОА=∠СОD как вертикальные;

∠BОC =∠AОD как вертикальные.

sin ∠BОC =sin(180 -∠ВОА )=sin ∠ВОА.
Получим:
с*а* sin∠ВОА:2 * b*d* sin∠ВОА:2=с*b* sin∠ВОА:2 * a*d* sin∠ВОА:2;
1=1.
Что и требовалось доказать. 

12. а) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе делит его на два треугольника, площади которых 16 см2 и 4 см2. Найти гипотенузу треугольника.
      б) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе делит его на два треугольника, площади которых 6 см2 и 54 см2. Найти гипотенузу треугольника.(№ 5.5.27 [7])
Решение:
а)
Обозначим ВО=х, ОС=у.
По свойству высоты, проведенной к гипотенузе  в прямоугольном треугольнике: АО2=х*у.
Площадь прямоугольного треугольника АВО равна половине произведения катетов: 16=АО*х:2. АО*х=32.
Площадь прямоугольного треугольника АОС равна половине произведения катетов: 4=АО*у:2. АО*у=8.
Разделив первую площадь на вторую получим: х=4у.
По свойству высоты, проведенной к гипотенузе  в прямоугольном треугольнике: АО2=х*у.
Получим: 
Т.к. х=4у, то у3=64:(4х);  у4=16, у=2 (см) - СО.
х=4*2=8 (см) - ВО.
ВС=ВО+ОС=8+2=10 (см).
Ответ: 10 см.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. По какому признаку равны треугольники?

2. Запишите все пары подобных треугольников:

3. Докажите, что треугольники АВD и ADC равны, если АВ=DC.
4. Найдите х:
5. Треугольник АВС -  равнобедренный с основанием АС. Доказать, что треугольник KBN - равнобедренный, если АК=NC.
6. Треугольники АВС и КLM - подобны. KL=5 см, LM=7 cм, КМ=3 см. Найти стороны треугольника АВС, если его периметр равен 45 см.

7. Стороны треугольника относятся как 3:4:5, его площадь равна 24 см2. Найдите периметр треугольника.

 8. Найдите площадь треугольника АВС, если АС:ВС=5:4 и площадь треугольника АКС = 40 см2, где СК - биссектриса треугольника АВС.

9. а) Точки К и О лежат на сторонах треугольника АВС. Доказать, что КО меньше любой из сторон треугольника.
    б) Точка О лежит внутри треугольника АВС. Доказать, что ОС+ОВ меньше, чем АС+АВ.

10. Точка О находится внутри равностороннего треугольника. Доказать, что сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника - постоянная величина.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ


Подписаться на: Сообщения (Atom)