МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник с равными сторонами и равными углами.
а - сторона восьмиугольника,
R - радиус описанной окружности,
r - радиус вписанной окружности.
Сумма внутренних углов правильного n-угольника
180(n-2).
Градусная мера внутреннего угла n-угольника
180(n-2) : n.
Сторона правильного n-ка
Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности
Площадь правильного n-ка
УПРАЖНЕНИЯ
1. а) Сумма внутренних углов шестиугольника равна:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540°.
б) Сумма внутренних углов восьмиугольника равна:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1080°.
Решение:
а) По формуле сумма углов шестиугольника равна: 180(6-2)=180*4=720°.
Ответ: 720°.
2. а) Сторона правильного многоугольника равна 5 см, внутренний угол равен 144°. Найдите периметр многоугольника.
а) Сторона правильного многоугольника равна 7 см, внутренний угол равен 150°. Найдите периметр многоугольника.
Решение:
а) 1) Найдем количество сторон многоугольника:
144=180(n - 2):n;
144n=180n-360;
36n=360;
n=10.
2) Найдем периметр десятиугольника: Р=5*10=50 см.
Ответ: 50 см.
3. а) Периметр правильного пятиугольника равен 30 см. Найдите диаметр окружности, описанной вокруг пятиугольника.
б) Диаметр окружности равен 10 см. Найдите периметр вписанного в нее пятиугольника.
Решение:
а) 1) Найдем сторону пятиугольника: 30:5=6 см.
2) Найдем радиус описанной окружности:
a=2R*sin(180°:n);
6=2R*sin (180°:5);
R=3:sin 36°=3:0,588=5,1 см
Ответ: 5,1 см.
4. а) Сумма внутренних углов правильного многоугольника равна 2520°. Найдите количество сторон многоугольника.
б) Сумма внутренних углов правильного многоугольника равна 1800°. Найдите количество сторон многоугольника.
Решение:
а) Найдем количество сторон многоугольника:
2520°= 180°(n-2);
2520°+360°=180°n;
2880°=180°n;
n=16.
Ответ: 16 сторон.
5. а) Радиус окружности, описанной около правильного двенадцатиугольника равен 5 см. Найдите площадь многоугольника.
б) Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника равен 6 см. Найдите площадь многоугольника.
Решение:
а) Найдем площадь двенадцатиугольника:
S=0.5*R2*n*sin(360°:n)=0,5*25*12*sin30°=75 см2.
Ответ: 75 см2.
6. Найдите площадь шестиугольника, если известна площадь закрашенной части:
Решение:
а) 1) Найдем длину стороны АВ шестиугольника. Рассмотрим треугольник АВС - равнобедренный (АВ=ВС).
∠АВС=180°(6-2):6=120°.
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540°.
б) Сумма внутренних углов восьмиугольника равна:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1080°.
Решение:
а) По формуле сумма углов шестиугольника равна: 180(6-2)=180*4=720°.
Ответ: 720°.
2. а) Сторона правильного многоугольника равна 5 см, внутренний угол равен 144°. Найдите периметр многоугольника.
а) Сторона правильного многоугольника равна 7 см, внутренний угол равен 150°. Найдите периметр многоугольника.
Решение:
а) 1) Найдем количество сторон многоугольника:
144=180(n - 2):n;
144n=180n-360;
36n=360;
n=10.
2) Найдем периметр десятиугольника: Р=5*10=50 см.
Ответ: 50 см.
3. а) Периметр правильного пятиугольника равен 30 см. Найдите диаметр окружности, описанной вокруг пятиугольника.
б) Диаметр окружности равен 10 см. Найдите периметр вписанного в нее пятиугольника.
Решение:
а) 1) Найдем сторону пятиугольника: 30:5=6 см.
2) Найдем радиус описанной окружности:
a=2R*sin(180°:n);
6=2R*sin (180°:5);
R=3:sin 36°=3:0,588=5,1 см
Ответ: 5,1 см.
4. а) Сумма внутренних углов правильного многоугольника равна 2520°. Найдите количество сторон многоугольника.
б) Сумма внутренних углов правильного многоугольника равна 1800°. Найдите количество сторон многоугольника.
Решение:
а) Найдем количество сторон многоугольника:
2520°= 180°(n-2);
2520°+360°=180°n;
2880°=180°n;
n=16.
Ответ: 16 сторон.
5. а) Радиус окружности, описанной около правильного двенадцатиугольника равен 5 см. Найдите площадь многоугольника.
б) Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника равен 6 см. Найдите площадь многоугольника.
Решение:
а) Найдем площадь двенадцатиугольника:
S=0.5*R2*n*sin(360°:n)=0,5*25*12*sin30°=75 см2.
Ответ: 75 см2.
6. Найдите площадь шестиугольника, если известна площадь закрашенной части:
а) 1) Найдем длину стороны АВ шестиугольника. Рассмотрим треугольник АВС - равнобедренный (АВ=ВС).
∠АВС=180°(6-2):6=120°.
Площадь треугольника АВС равна 0,5*АВ*ВС*sin120° и равна по условию 48.
3) Найдем площадь шестиугольника:
7. а) Найдите число сторон правильного многоугольника, если его внешний угол при вершине равен 18°.
б) Найдите число сторон правильного многоугольника, если его внешний угол при вершине равен 45°.
Решение:
а) Сумма внешних углов правильного многоугольника равна 360°.
Найдем количество сторон: 360°:18°=20.
Ответ: 20 сторон.
8. Вычислите площадь кольца, если хорда АВ равна:
а) 8 см; б) 10 см.
а)
1) ОВ - радиус внешней окружности, ОН - радиус внутренней окружности. Площадь кольца можно найти по формуле: S кольца = S внешней окружности - S внутренней окружности.
S=π *OB2 - π *OH2=π (OB2-OH2).
2) Рассмотрим треугольник АВО - равнобедренный (ОА=ОВ как радиусы). ОН является в треугольнике АВО высотой и медианой, следовательно, АН=НВ=8:2= 4 см.
3) Рассмотрим треугольник ОНВ - прямоугольный: НВ2=ОВ2-ОН2, следовательно
ОВ2-ОН2=16.
4) Найдем площадь кольца:
S=π (OB2-OH2)=16π см2.
Ответ: 16π см2.
9. а) Найдите периметр правильного шестиугольника, если АС=9 см.
б) Найдите площадь правильного шестиугольника, если FA=6 см.
а) 1) Найдем угол АВС: 180°(6-4):6=120°.
2) Рассмотрим треугольник АВС - равнобедренный (АВ=ВС как стороны правильного шестиугольника).
∠ВАС=∠ВСА=(180°-120°):2=30°.
По теореме синусов: АС : sin ∠ABC = AB : sin ∠BCA;
AB=AC*sin30°:sin120;
Р=6*АВ;
10. Докажите, что в правильном восьмиугольнике площадь закрашенной части равна:
а) четверти площади восьмиугольника; б) половине площади восьмиугольника:
а)
1) Проведем биссектрисы углов восьмиугольника, они пересекутся в точке О. Площадь восьмиугольника равна сумме площадей восьми получившихся равных треугольников, т.е. S (ABCDEFKM) =8* S (OEF).
2) Четырехугольник ABEF - параллелограмм (АВ//EF и АВ=EF). Диагонали параллелограмма равны: AE=BF (как диаметры описанной около восьмиугольника окружности), следовательно, ABEF - прямоугольник. Диагонали прямоугольника делят его на четыре равновеликих треугольника.
3) Найдем площадь четырехугольника AFKM:
S (ABEF)= 4* S (OEF).
2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF).
S (AFKM)=2* S (OEF).
4) Найдем отношение площади восьмиугольника к площади закрашенной части:
S (ABCDEFKM) : S (AFKM) = 8* S (OEF) : (2* S (OEF))=4.
Что и требовалось доказать.
11. Найдите отношение площади сектора ВАС к площади закрашенной фигуры, если ВА=АС и площадь сектора ВАС равна четверти площади круга:
а)
1) АВ=АС=2R. Угол ВАС - прямой, т.к. площадь сектора ВАС равна четверти площади круга.
2) Рассмотрим Четырехугольник АО2МО1. Он является ромбом, т.к. все стороны равны радиусу, а т.к. Один их углов равен 90°, то АО2МО1 - квадрат.
3) Найдем площадь сегмента, закрашенного красным цветом:
S=S сектора АО1М - S треугольника АО1М.
S сектора = π*R2*90:360=0,25πR2 см2
S треугольника = 0,5R2 см2.
S сегмента = (0,25π -0,5)R2 см2.
S закрашенной части = 2* S сегмента = 2*(0,25π -0,5)R2 = (0,5π -1)R2 см2.
4) Найдем площадь сектора ВАС:
S сектора = π *(2R)2 *90:360=πR2 см2.
5) Найдем отношение площади сектора ВАС к площади закрашенной части:
πR2 :(0,5π -1)R2 = 2π : (π-2).
Ответ: 2π : (π-2).
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Чему равна сумма внешних углов пятиугольника?
2. Чему равна площадь восьмиугольника, если площадь закрашенной области равна 20.
3. Периметр правильного четырехугольника равен 20 см. Найдите длину вписанной в него окружности.
4. Сторона АВ правильного многоугольника равна 8 см. О - центр многоугольника, угол АОВ равен 36°. Найдите периметр многоугольника.
5. Периметр правильного восьмиугольника равен 80 см. Найдите его меньшую диагональ.
6. В правильный треугольник вписана окружность и вокруг него описана окружность. Найдите площадь кольца, образованного окружностями, если сторона треугольника равна 8 см.
7. Найдите угол между двумя меньшими диагоналями, выходящими из одной вершины правильного семиугольника.
8. Около окружности описан правильный треугольник, и в нее же вписан правильный шестиугольник. Найдите отношение площадей треугольника и шестиугольника.
9. Выпуклый многоугольник имеет 48 сторон. Найдите число его диагоналей.
10. ABCD - квадрат. Из вершин В и С проведены окружности радиуса АВ. Найдите отношение площади закрашенной фигуры к площади квадрата:
2. Чему равна площадь восьмиугольника, если площадь закрашенной области равна 20.
4. Сторона АВ правильного многоугольника равна 8 см. О - центр многоугольника, угол АОВ равен 36°. Найдите периметр многоугольника.
5. Периметр правильного восьмиугольника равен 80 см. Найдите его меньшую диагональ.
6. В правильный треугольник вписана окружность и вокруг него описана окружность. Найдите площадь кольца, образованного окружностями, если сторона треугольника равна 8 см.
7. Найдите угол между двумя меньшими диагоналями, выходящими из одной вершины правильного семиугольника.
8. Около окружности описан правильный треугольник, и в нее же вписан правильный шестиугольник. Найдите отношение площадей треугольника и шестиугольника.
9. Выпуклый многоугольник имеет 48 сторон. Найдите число его диагоналей.
10. ABCD - квадрат. Из вершин В и С проведены окружности радиуса АВ. Найдите отношение площади закрашенной фигуры к площади квадрата:
