Математика по полочкам: 2. Обыкновенные дроби

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Обыкновенная дробь записывается с помощью черты и двух натуральных чисел. Число, стоящее под чертой и показывающее, на сколько равных частей разделена единица, называется знаменателем дроби. Число, стоящее над чертой и показывающее, сколько взято таких равных частей, называется числителем дроби.

Обыкновенная дробь:

, m -числитель, n - знаменатель.

!Дробную черту можно рассматривать как знак деления: m/n = m : n.

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной.

- правильная дробь.

Дробь, в которой числитель равен знаменателю или больше его, называется неправильной.

- неправильные дроби.

Если дробь состоит из натурального числа (целая часть) и правильной дроби (дробная часть), то такая дробь называется смешанной.

- смешанные дроби.

Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть, для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления будет целой частью числа, остаток - числителем, а делитель - знаменателем.

т.к. 29 : 14 = 2 (ост. 1).

Чтобы записать число в виде неправильной дроби, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к произведению прибавить числитель дробной части. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем будет знаменатель дробной части.

Основное свойство дроби

Числитель и знаменатель дроби можно умножать (делить) на одно и то же натуральное число, от этого величина дроби не изменяется.
Основное свойство дроби используется при сокращении дробей и при приведении двух и более дробей к одинаковому знаменателю.

Сравнение дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, числитель которой больше. Если у дробей разные знаменатели, то предварительно их необходимо привести к одному знаменателю.

Сложение и вычитание дробей

Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же. Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении и вычитании смешанных дробей их целые и дробные части складываются (вычитаются) отдельно.

С одинаковыми знаменателями:

С разными знаменателями:

Умножение дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей.

Деление дробей

При делении дроби на дробь числитель делимого умножают на знаменатель делителя, а знаменатель делимого - на числитель делителя.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Нахождение числа по его части и части от числа

Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, нужно данное число разделить на дробь.

Пример: Найти 15/23 от числа 240.

240: 15/23=240 * 23/15 = 368.

Чтобы найти дробь (часть) от числа, нужно это число умножить на данную дробь.

Пример:

Найти 4/5 от 160.

160 * 4/5 = 128.

Число называется рациональным, если оно может быть представлено в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n , где m и n целые числа.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Выпишите числа, которые записаны правильными обыкновенными дробями:

Решение:

У правильной обыкновенной дроби числитель больше знаменателя. следовательно правильными обыкновенными дробями являются:

2. Сравните дроби:

Решение:

а)

3. Найдите 2/7 от чисел:

Решение:

4. Сократите дроби:

Решение:

5. Вычислите значения выражения:

Решение:

а)

6. Докажите, что:

Решение:

а) Представим число 191919191919 следующим образом:

191919191919=190000000000+1900000000+19000000+190000+1900*19=

=19*10000000000+19*100000000+19*1000000+19*10000+19*100*19=19(10000000000+100000000+1000000+10000+100+1)=19*10101010101 - числитель дроби.

Аналогично, 353535353535=1350000000000+3500000000+35000000+350000+3500*35=

=135*10000000000+135*100000000+35*1000000+35*10000+35*100*35=35(10000000000+100000000+1000000+10000+100+1)=35* 10101010101 - знаменатель дроби.

После сокращения числителя и знаменателя на 10101010101 получим 19/35.

19/35-19/35=0.

Что и требовалось доказать.

7. Вычислите:

Решение:

а) 151515=15(10000+100+1)=15*10101. 191919=19(10000+100+1)=19*10101.

После сокращения числителя и знаменателя на 10101 получим 15/19.

15/19 * 19/35=3/7.

Ответ: 3/7.

8. а) Из числа вычли 3/4 этого числа и получили число 50000. Найдите это число.

б) К числу прибавили 5/6 этого числа и получили 935000. Найдите это число.

Решение:

а) Пусть х - заданное число. 3/4 от этого числа равны х*3/4. Составим уравнение:

х-3/4*х=50000;

х(1-3/4)=50000;

х*1/4=50000;

х=50000:1/4;

х=200000.

Ответ: 200000.

9. а) Некоторое число увеличили на четвертую часть этого числа, а затем, получившееся число уменьшили на его пятую часть. Запишите число, показывающее отношение исходного числа к полученному.

б) Некоторое число уменьшили на пятую часть этого числа, а затем, получившееся число увеличили на его половину. Запишите число, показывающее отношение полученного числа к исходному.

Решение:

а) Пусть х - заданное число. Четвертая часть числа - х/4. При увеличении исходного числа на его четвертую часть получим: х+х/4=х(1+1/4)= 5/4 х.

Пятая часть получившегося числа - это 5/4х : 5= 1/4х.

Отношение исходного числа к получившемуся равно: