МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Например: 823 = 8 сотен + 2 десятка + 3 единицы = 8 • 100 + 2 • 10 + 3 = 800 + 20 + 3.
В общем виде числа можно представить таким образом:
Четное число можно представить формулой 2n, где n - натуральное число.
Нечетное число можно представить формулой 2n+1, где n - натуральной число.
Число, кратное числу а можно представить формулой an, где n, a - натуральные числа.
Формула деления с остатком числа n на число а: n=ad+r, где a, n, d, r - натуральные числа (r - остаток от деления числа n на число а).
Последовательные числа можно представить: n, n+1, n+2,...
УПРАЖНЕНИЯ
1. а) В двузначном числе сумма цифр равна 7. Цифра десятков на 3 больше цифры единиц. Выберите систему уравнений, решив которую можно найти данное число (х — цифра десятков, у — цифра единиц данного числа):
б) В двузначном числе сумма цифр равна 12. Цифра единиц на 2 больше цифры десятков. Выберите систему уравнений, решив которую можно найти данное число (х - цифра десятков, у — цифра единиц данного числа):
Решение:
а) х - цифра десятков, у - цифра единиц.
Сумма цифр равна 7: х+у=7.
Цифра десятков на 3 больше цифры единиц: х-3=у, х-у=3.
Ответ: 2).
2. а) Сумма трех последовательных нечетных чисел равна 36. Выберите уравнение, с помощью которого можно найти эти числа (буквой n обозначено искомое число):
1) n + (n + 1) + (n + 2) = 36;
2) (n+ 1) + (n + 3) + (n + 5) = 36;
3) (2n - 1) + 2n + (2n + 1) = 36.
б) Разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 9. Выберите уравнение, с помощью которого можно найти эти числа (буквой n обозначено искомое число):
1) (n + 1)2 - n2= 9;
2) (n - 2)2 - (n - 1)2 = 9;
3) (2n + 1)2 - (2n - 1)2 = 9.
Решение:
а) n - первое число, тогда n+1 - второе, n+2 - третье. Сумма чисел равна 36:
n+(n+1)+(n+2)=36.
Ответ: 1.
3. а) Произведение двух последовательных четных натуральных чисел равно 624. Укажите уравнение, с помощью которого можно найти эти числа (буквой n обозначено натуральное число):
1) 2n (2n + 1) = 624;
2) 2n • 2(n + 1) = 624;
3) n(n + 1) = 624.
б) Произведение двух последовательных нечетных натуральных чисел равно 2703. Укажите уравнение, с помощью которого можно найти эти числа (буквой n обозначено натуральное число):
1) (2n - 1) • (2n + 1) = 2703;
2) 2n • (2n+1) = 2703;
3) (n - 1)(n + 1) = 2703.
Решение:
а) 2n - первое четное число, тогда 2n+2=2(n+1) - второе четное число.
2n * 2(n+1)=624.
Ответ: 2).
4. а) Найдите два числа, сумма которых равна 72 и одно больше другого на 16.
б) Найдите два числа, сумма которых равна 177 и одно меньше другого на 9.
Решение:
а) Пусть х - первое число, у - второе.
х+у=72 и х-у=16.
Решим систему уравнений:
Сложим уравнения системы:
2х=88,
х=44.
у=72-х=72-44=28.
Ответ: 44; 28.
5. а) Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 1122.
б) Одно из натуральных чисел на 5 больше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 1050.
Решение:
а) Пусть n - первое число, тогда n+1 - второе.
n(n+1)=1122,
n2 +n-1122=0,
D=1+4488=4489
n1=(-1+67):2=33 - первое число,
n2=(-1-67):2=-34 - не является натуральным числом.
1) 33+1=34 - второе число.
Ответ: 33, 34.
6. а) Разложите число 442 на два множителя, разность которых равна 9.
б) Разложите число 198 на два множителя, сумма которых равна 29.
Решение:
а) Пусть х - первый множитель, тогда х+9 - второй множитель.
х(х+9)=442,
х2+9х-442=0,
D=81+1768=1849,
x1=(-9+43):2=17 - первый множитель; 17+9=26 - второй множитель.
х2=(-9-43):2=-26- первый множитель; -26+9=-17 - второй множитель.
Ответ: 17 и 26; -17 и -26.
а) Пусть х - первый множитель, тогда х+9 - второй множитель.
х(х+9)=442,
х2+9х-442=0,
D=81+1768=1849,
x1=(-9+43):2=17 - первый множитель; 17+9=26 - второй множитель.
х2=(-9-43):2=-26- первый множитель; -26+9=-17 - второй множитель.
Ответ: 17 и 26; -17 и -26.
7. а) Число, равное сумме четного числа и 50 % от него, находится между числами 123 и 129. Найдите это число.
б) 40 % от нечетного числа находится между числами 22,8 и 24,4. Найдите это число.
Решение:
а) Пусть 2n - четное число, 50% от 2n равно n.
123<2n+n<129,
123<3n<129,
123:3<n<129:3,
41<n<43.
n=41.
Четное число 2n=2*41=84.
Ответ: 84.
8. а) Разность двух натуральных чисел равна 71. При делении большего числа на меньшее получается 6 и в остатке 6. Найдите эти числа.
б) Сумма двух натуральных чисел равна 114. При делении большего числа на меньшее получается 2 и в остатке 9. Найдите эти числа.
Решение:
а) Пусть х - большее число, у - меньшее число.
х-у=71; по формуле деления с остатком х=6у+6.
Подставим в первое уравнение вместо х выражение 6у+6:
6у+6-у=71;
5у=65;
у=13 - меньшее число.
71+13=84 - большее число.
Ответ: 13; 84.
9. а) Числитель дроби на 2 меньше знаменателя. Если от числителя и знаменателя этой дроби отнять 11, то получится число 4/5. Найдите данную дробь.
б) Числитель дроби на 4 меньше знаменателя. Если числитель этой дроби увеличить на 4, а знаменатель разделить на 3, то получится число 3. Найдите данную дробь.
Решение:
а) Пусть х - числитель, тогда х+2 - знаменатель дроби. Тогда исходная дробь: х/(х+2).
а) Пусть х - числитель, тогда х+2 - знаменатель дроби. Тогда исходная дробь: х/(х+2).
После того, как из числителя и знаменателя вычли 11, получим дробь: (х-11)/(х-9)
по условию эта дробь равна 4/5. Составим и решим уравнение:
(х-11):(х-9)=4:5.
5(х-11)=4(х-9),
5х-4х=-36+55,
х=19 - числитель
1) 19+2=21 - знаменатель.
Ответ: 19/21.
10. а) Числитель обыкновенной дроби на 5 меньше ее знаменателя. Если числитель дроби увеличить на 2, а знаменатель — на 6, то данная дробь будет больше полученной на 13/140. Найдите данную дробь.
б) Знаменатель обыкновенной дроби на 7 больше ее числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 5, а знаменатель — на 4, то полученная дробь будет на 47/110 больше данной. Найдите данную дробь.
Решение:
а) Пусть х - числитель, тогда х+5 - знаменатель дроби.
Данная дробь:
После того, как числитель увеличили на 2, а знаменатель на 6 получим дробь: 
Разность между первой и второй дробью равна 13/140. Составим и решим уравнение:
х≠-5; х≠-11.
13х -352х+2115=0
D=13924
x1=(352-118):26=9 - числитель, 9+5=14 - знаменатель.
х2=(352+118):26=18 1/13 - не может быть числителем.
Ответ: 9/14.
11. а) Даны два числа, среднее арифметическое которых на 16 меньше большего из чисел, а среднее геометрическое — на 8 больше меньшего из них. Найдите большее число.
б) Даны два числа, среднее арифметическое которых на 8 меньше большего из чисел, а среднее геометрическое — на 6 больше меньшего из них. Найдите большее число.(№ 6.4.61 [7])
а) Пусть х - большее число, у - меньшее число.
Возведем обе части второго уравнения системы в квадрат:
у2+32у=(у+8)2
у2+32у=у2+64+16у,
16у=64,
у=4,
х=у+32=4+32=36.
Ответ: 4; 36.
12. а) Найдите количество натуральных чисел, которые кратны 2 и 3. Известно, что из них 30 чисел делится на 2; 20 чисел делится на 3; 10 чисел кратны числу 6.
б) Найдите количество натуральных чисел, которые кратны 5 и 7. Известно, что из них 30 чисел делится на 5; 25 чисел делится на 7; 15 чисел кратны числу 35.
Решение:
а) 1) 30-10=20 (ч.) - делятся только на 2
2) 20-10=10 (ч.) - делятся только на 3
3) 20+10+10=40 (ч.) - кратны и двум и трем.
Ответ: 40 чисел.
13. а) Найдите все натуральные трехзначные числа, каждое из которых обладает следующими свойствами: первая цифра числа в 3 раза меньше последней цифры; сумма самого числа и числа, получающегося из него перестановкой второй и третьей цифр, делится на 8 без остатка. В ответ запишите сумму найденных чисел.
б) Найдите все натуральные трехзначные числа, каждое из которых обладает следующими свойствами: первая цифра числа в 3 раза меньше суммы двух других его цифр; разность самого числа и числа, получающегося из него перестановкой двух последних его цифр, неотрицательна и делится на 81 без остатка. В ответ запишите сумму найденных чисел.(№ 6.5.36 [7])
Решение:
а) Пусть а - цифра сотен числа, b - цифра десятков числа, с - цифра единиц числа.
Число можно представить: 100а+10b+с.
Число, полученное перестановкой второй и третьей цифр: 100а+10с+b.
Найдем сумму этих чисел: 100а+10b+с +100а+10с+b=200а+11b+11с=200а+11(b+с).
Сумма делится на 8 без остатка, т.к. 200а делится на 8, то и 11(b+с) тоже должно делится на 8, а следовательно b+с кратно 8. Известно, что а в 3 раза меньше с, следовательно с кратно 3 и не равно 0.
Выпишем все пары цифр, сумма которых кратна 8 и с кратно 3:
b c
2 6 а=6:3=2, число 226
5 3 а=3:3=1, число 153
7 9 а=9:3=3, число 379
1) 226+153+379=758 - сумма чисел.
Ответ: 758
14. а) Трехзначное число оканчивается цифрой 4 . Если эту цифру записать первой, то первоначальное число, умноженное на 3, будет больше полученного числа на 540. Найдите новое число.
б) Трехзначное число оканчивается цифрой 5. Если эту цифру записать первой, то новое удвоенное число будет больше первоначального числа на 323. Найдите исходное число.
Решение:
а) Пусть а - цифра сотен числа, b - цифра десятков числа, 4 - цифра единиц числа.
Число можно представить: 100а+10b+4.
Число, полученное, если цифру 4 записать первой: 400+10а+b.
Составим по условию задачи уравнение:
(100а+10b+4)*3 - (400+10а+b)=540,
300а+30b+12-400-10a-b=540,
290a+29b=928,
10a+b=32,
Следовательно а=3, b=2.
Полученное трехзначное число -432.
Ответ: 432.
15. а) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7 и в остатке 6. Если это же двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке число, равное сумме цифр исходного числа. Найдите исходное число.
б) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 4 и в остатке 3. Если это же число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в остатке 5. Найдите исходное число.(№ 6.5.58 [7])
Решение:
а) Пусть а - цифра десятков числа, b - цифра единиц числа.
10a+b - заданное число.
По формуле деления с остатком получим:
10a+b=(a+b)*7+6 и 10a+b=ab*3+(a+b).
Решим систему уравнений:
Ответ: 83.
а) Пусть а - цифра десятков числа, b - цифра единиц числа.
10a+b - заданное число.
По формуле деления с остатком получим:
10a+b=(a+b)*7+6 и 10a+b=ab*3+(a+b).
Решим систему уравнений:
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1) (10 • 2b + х) - 27 = 10b + 2b;
2) (10b + 2b) = (10 • 2b + b) + 27;
3) 10b + 2b = 27 - (10 • 2b + b).
3. Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 12432. Найдите сумму этих чисел.
4. Одно число больше другого на 42, а сумма этих чисел равна 70. Найдите эти числа.
5. Цифра десятков двузначного числа в 3 раза больше цифры его единиц. Если эти цифры поменять местами, то полученное число будет меньше первоначального на 36. Найдите первоначальное число.
6. Сумма двух чисел равна 96, а 25 % от первого числа и 60 % от второго в сумме составляют 49,2. Найдите эти числа.
7. Найдите двузначное число, сумма цифр которого в 6,25 раза меньше его самого.
8. После деления двузначного числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 5. После деления этого двузначного числа на сумму
его цифр в частном получается 4 и в остатке 3. Найдите это число.
9. Если между цифрами двузначного числа поставить цифру 9, то полученное число будет в 11 раз больше заданного двузначного числа. Найдите двузначное число.
