23. Углы и прямые

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя лучами LK и LM(стороны угла), исходящими из одной точки  L (вершина угла).

---

Градусная мера измерения углов 

Единицей измерения углов является градус. Его обозначение °. 

Угол в 90  называется прямым (AOB); угол, меньший, чем 90°, называется острым (KLM); угол, больший, чем 90°, называется тупым (TNF). 

Развернутый угол равен 180°.

Радианная мера измерения углов

Радианная мера угла - это величина угла, выраженная в радианах.

Радианная мера угла в 1° равна π:180°.

Для перевода градусов в радианы,  следует число градусов умножить на пи и разделить на 180°.

Пример: 45°= 45°* π:180°= π/4 рад.

Градусная мера угла в 1 радиан равна 180°: π.

Для перевода радиан в градусы,  следует число радиан умножить на 180°  и разделить на пи.

Пример: π/3 рад = π/3 *180 : π = 60°.

---

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы – это два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы  – это два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

---

Биссектриса угла

Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам. 

Биссектрисы вертикальных углов являются продолжениями одна другой.

Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

Свойство биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы угла находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.

---

Углы при параллельных прямых

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Углы, лежащие между прямыми и по одну сторону секущей, называются внутренними односторонними углами. 

Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна 180°: 1+3=180°, 2+4=180°.

Углы, лежащие между прямыми и по разные стороны от секущей, называются внутренними накрест лежащими углами.  

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны: 1=2  и 3=4.

Углы, лежащие по одну сторону секущей, но один из них лежит между заданными прямыми, а другой не лежит между ними, называются соответствующими.

Соответствующие углы при параллельных прямых равны: 1=5,  4=6,  7=3, 8=2.

---

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине. BCD - внешний угол треугольника ABC.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

BCD=ABC+BAC.

---

Центральный и вписанный углы

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается. BOA = дуге ВА.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. ВСА = 0,5 ВОА.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

---

УПРАЖНЕНИЯ

---

1. а) Дан острый угол. Каким углом будет смежный с ним угол?
    б) Дан тупой угол. Каким будет смежный с ним угол?

Решение:
а) угол будет тупым, т.к. острый угол меньше 90°, следовательно если из 180° вычесть угол меньший 90, получим угол, градусная мера  которого больше 90°.
Ответ: тупой

---

2. Запишите:
а) внутренние односторонние углы;
б) внутренние накрест лежащие углы.

Решение:

а) Внутренними односторонними углами при двух прямых и секущей являются 2 и 3, 6 и 7.

Ответ:  2 и 3, 6 и 7.

---

3. а) На какой угол повернется минутная стрелка в течении 20 минут?
    б) На какой угол повернется часовая стрелка в течении 40 минут?
Решение:
а) при повороте минутной стрелки на 20 минут она повернется на угол 360:60*20=120°, а это тупой угол.
Ответ: 120°, на тупой гол.

---

4. а) Найдите величины смежных углов, если один из них на 30° больше другого.
    б) Найдите величины смежных углов, если их разность 10°.
Решение:
а) Сумма смежных углов 180°.
1) 180-30=150° - если углы равны
2) 150:2=75° - меньший угол
3) 75+30=105° - больший угол
Ответ: 75°, 105°.

---

5. а) Из точки, расположенной внутри угла, равного 36°, проведены перпендикуляры к сторонам угла. Найдите угол между перпендикулярами.
    б) Из точки, расположенной вне угла, равного 48°, проведены перпендикуляры к сторонам угла. Найдите угол между перпендикулярами.
а)

Дано: ВАС=36°
ОВ ┴АВ, ОС ┴АС
Найти: ВОС





Решение:
1) ABOC - четырехугольник. Сумма углов четырехугольника 360°.
2) АВО =90°, т.к. ОВ перпендикулярен АВ; АСО =90°, т.к. ОС перпендикулярен АВ.
3) ВОС=360°-90°-90°-36°=144°
Ответ: 144°

---

6. Найдите х:

а) 60°= х рад;   80°= х рад;  х°=2π рад;    х°=π:4 рад.

б) 30°= х рад;   110°= х рад;  х°=4π рад;    х°=π:3 рад.
Решение:
а) 60°= *60°:180°= /3 радиан
     80°= *80°:180°= 4 /9 радиан
     2  радиан = 2 *180°:  = 360°
      /4 радиан =  /4*180°:  = 45°

 

---

7. а) При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух из них равна 80. Найдите величину каждого угла.
    б) При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Разность двух из них равна 80. Найдите величину каждого угла.
а)

Дано:
a, b - пересекающиеся прямые
1+2=80°Найти:
1, 2, 3, 4






Решение:
Так как сумма двух углов равна 80°, то эти углы не могут быть смежными, а следовательно они вертикальные.
Вертикальные углы равны, значит 1=2=80°:2=40°.
1 и 3 - смежные, сумма смежных углов 180° и 3=180°-40°=140°.
2 и 4 - смежные, сумма смежных углов 180° и 4=180°-40°=140°.
Ответ: 40°, 40°, 140°, 140°.

---

8. а) А и С - точки касания. CDA=40°. Найдите угол АВС.
    б) К и М - точки касания. KLM=50°. Найдите угол KNM.

а)

Дано:

w(О,ОС)

ВС, АС - касательные

CDA=40°

Найти: АВС
Решение:

1) ОС ┴ВС и ОА┴ВА (радиусы, проведенные в точку касания). Следовательно, ВАО=90° и ВСО=90°.

2) Вписанный угол CDA и центральный угол СОА опираются на одну дугу АС, следовательно СОА=2CDA=2*40°=80°.

3) Сумма углов четырехугольника АВСО равна 360°. АВС=360°-90°-90°-80°=100°.

Ответ: 100°.

---

9. а) Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром в точке О. Найдите угол АОВ, если угол СОD равен 95°.
   б) Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром в точке О. Найдите угол ВОС, если угол АОD равен 108°.

а) 

Решение:

1) Сумма углов четырехугольника АВСD равна 360°. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, следовательно, OA, OB, OC, OD - биссектрисы и 1+2+3+4=360°:2=180°.

2) Сумма углов треугольника АВО=180°=1+2+АОВ. Сумма углов треугольника DOC=180°=4+3+95°.

Сумма углов двух треугольников АВО и DOC равна 360° и равна 1+2+АОВ+3+4+95°.

360°=(1+2+3+4)+АОВ+95°.

АОВ=360°-180°-95°=85°.

Ответ: 85°.

---

10. а) В треугольнике АВС угол В равен х. Найдите угол АОС, если биссектрисы  АF и СD пересекаются  в точке О
     б) Найдите угол В треугольника АВС, если угол АОС равен х,  и  биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. 
а)

Решение:

1) Сумма углов треугольника 180°. А+С+В=180. Следовательно, А+С=180°-х.

2) AF и CD - биссектрисы углов А и С, следовательно, BAF=FAC и BCD=DCA.

Имеем: FAC=A:2 и DCA=С:2. FAC+DCA=(A+C):2=(180°-x):2=90°-x/2.

3) AOC=180°-(FAC+DCA)=180°-90°+x/2=90°+x/2.

Ответ: 90°+х/2.

---

11. а) Сумма углов выпуклого n-угольника в х раз больше суммы углов выпуклого (n-3)- угольника. Найдите целое число х.
     б) Сумма углов выпуклого 2n-угольника в х раз больше суммы углов выпуклого (n-1) - угольника. Найдите  число х.
Решение:
а) 1) Сумма углов n-угольника: 180(n-2).
    2) Сумма углов (n-1)-угольника: 180(n-3-2)=180(n-5).
    3) Известно, что сумма углов n-угольника в х раз больше суммы углов (n-1)-угольника:
180(n-2)=180(n-5)*х,
n-2=(n-5)*x,
x=(n-2):(n-5),
x=((n-5)+3):(n-5)=1+3:(n-5).
3:(n-5) - целое число, это возможно, если знаменатель будет равен 1: 
n-5=1,
n=6.
   4) Найдем х:
х=(6-2):(6-5)=4.
Ответ: 4.

---

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Запишите все пары смежных углов, изображенных на рисунке.

2. Сумме каких углов треугольника равен угол АВК?

3. Один из смежных углов в 5 раз больше другого. Найдите эти углы.

4. Даны две параллельные прямые и секущая. Найдите:

а) величину угла 2, если угол 6 равен 110°;

б) найдите величину угла 8, если угол 5 равен 70°.

5. Сумма углов АОС и BOD равна 242°. ОС - биссектриса угла BOD. Найдите угол ВОС.

6. Найдите х:

а) 10°= х рад;   25°= х рад;  х°=0,5π рад;    х°=2,4π рад.

  

7. Найдите угол АВС, если О - центр вписанной в треугольник АВС окружности и угол АОС равен 108°.

8. В выпуклом четырехугольнике АВСD BCA=BDA=40°, DAB=85°. Найдите АСD.

9. Какое наибольшее число внутренних острых углов может иметь выпуклый многоугольник.

10. В окружности, центром которой является точка О, дуга PN равна 68°, дуга LP равна 52°. КМ - касательная к окружности. Найдите угол LKM.

---

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

---