МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Действительные числа
Рациональное число – число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где числитель m – целое число, а знаменатель n – натуральное число. Любое рациональное число представимо в виде периодической бесконечной десятичной дроби. Множество рациональных чисел обозначается Q.Примеры:
Примеры иррациональных чисел:
1. Бесконечная непериодическая десятичная дробь 4,10110011100011110000… (количество единиц и нулей каждый раз увеличивается на одну) является иррациональным числом.
2. −22,353335333335… (число троек, разделяющих восьмерки, каждый раз увеличивается на две).
3. Арифметический квадратный корень из двух, равный 1,414213... .
3. Арифметический квадратный корень из двух, равный 1,414213... .
4. Число «пи», равное 3,141592….
Действительные числа – это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается R.
Стандартный вид числа N - это запись его в виде а·10k, где 1≤a≤9 и k – целое число. Число k называется порядком числа N.
Например, 125,5687=1,255687·102; 0,0036987=3,6987·10-3
Пропорция
Отношением числа х к числу у называется частное чисел х и у, т.е. х : у.Отношение х/у показывает, во сколько раз х больше у или какую часть числа у составляет число х.
Пропорцией называется равенство двух отношений, т.е.
; а и у называются крайними членами, х и b - средними членами пропорции.Свойства пропорции
1. Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции:
2. В пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно:
3. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо произведение средних членов разделить на известный крайний член пропорции.
Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов разделить на известный средний член пропорции.
Процент
Процентом называется сотая часть какого-либо числа. Процент обозначается знаком %.
Если данное число принять за 1, то 1% составляет 0,01 этого числа. Например, 50% составляют 0,5 числа.
Основные задачи на проценты
1. Нахождение процентов данного числа.
Чтобы найти а% от числа b, надо b умножить на а и разделить на 100..
Например, 25% от 80 составляют 25*80:100=20.
Если известно, что а% числа х равно b, то число х можно найти разделив b на а и умножив на 100.
Например, если 3% числа составляют 150, то все число равно 150:3*100=5000.
3. Нахождение процентного отношения чисел.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел a и b, надо отношение этих чисел умножить на 100%, т.е. a : b*100%.
Например, ученик должен был решить 10 задач, но решил 8, тогда он выполнил задание на 8 : 10 *100%=80%.
УПРАЖНЕНИЯ
Решение:
а) иррациональными являются числа:
а) иррациональными являются числа:
2. Округлите числа до тысячных:
а) 0,2451872; 2547,2354; 12,2567; б) 10,019812; 1235,123458; 0,001999.
Решение:
а) 0,245; 2547,235; 12,257.
3. Выпишите верные равенства:
Решение:
а) верные равенства: 
4. Запишите в стандартном виде числа:
а) 54800; 0,025; 102,256; б) 0,02394; 12501; 569,4501.
Решение:
а) 54800= 5,48·104; 0,025=2,5·10-2; 102,256=1,02256·102
5. Найдите число, если:
а) 39 % от него равны 1,3; б) 64% от него равны 1,6.
Решение:
а) 1,3 : 39% * 100% = 10/3
Ответ: 
6. Найдите, какой процент число 25 составляет:
а) от числа 750; б) от числа 125.
Решение:
а) 25 : 750 *100% = 10/3%
Ответ: 
%
%7. Найдите:
Решение:
а) найдем само число: 
вычислим 80% от числа 4: 4 : 100% * 80% = 3,2.
Ответ: 3,2.
8. а) Какое число увеличили на 15% и получили в результате 69.
б) Какое число увеличили на 45% и получили в результате 290.
Решение:
а) Пусть х - исходное число, оно равно 100%, после увеличения на 15% число стало (100%+15%) =115%.
х - 100%
69 - 115%
х= 69 * 100% : 115% = 60.
Ответ: 60.
9. а) Какой процент разность чисел 3,5 и 2,5 составляет от их суммы?
б) Какой процент разность чисел 8,5 и 6 составляет от их суммы?
Решение:
а) Сумма чисел : 3,5+2,5=6, разность чисел: 3,5-2,5=1.
Процентное отношение разности чисел к их сумме: 1 : 6 * 100% = 100/6%.
Ответ:
10. а) Представьте число 36 в виде суммы двух слагаемых, пропорциональных числам 4 и 5.
б) Представьте число 51 в виде суммы двух слагаемых, пропорциональных числам 3 и 5.
Решение:
а) Т.к. слагаемые пропорциональны числам 4 и 5, то всего частей 4+5=9.
36 : 9 = 4 - на одну часть.
4 * 4 = 16 - первое слагаемое.
4 * 5 = 20 - второе слагаемое.
Ответ: 16; 20.
11. Найдите х из пропорции:
Решение:
а) Упростим выражение:
Воспользуемся свойством пропорции:
12. а) Число 48 увеличили на 12%, а затем полученное число увеличили на 10%. Найдите число, которое получилось в результате.
б) Число 80 увеличили на 40%, а затем полученное число уменьшили на 25%, Найдите число, которое получилось в результате.
Решение:
а) увеличим число 48 на 12%: 48 + 48 : 100 *12% = 48 + 5,76 = 53,76.
Увеличим полученное число 53,76 на 10%: 53,76 + 53,76 : 100 * 10% = 53,76 + 5,376 = 59,136.
Ответ: 59,136.
13. а) На сколько процентов изменилось число, если его увеличили на 6/25?
б) На сколько процентов изменилось число, если его уменьшили на 3/10?
Решение:
а) Пусть 1 - исходное число, оно составляет 100%.
1 - 100%
6/25 - х%
Составим пропорцию и найдем х:
1 : 6/25 = 100 * х;
х = 100 * 6/25;
х = 24.
Ответ: увеличилось на 24%.
14. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
Решение:
а) К числителю прибавим корень из двух и разделим выражение почленно. При решении пользуемся домножением на сопряженное выражение.
15. Найдите значение выражения (№ 1.5.42 [7]):
Решение:
а) Выделим в выражении
полный квадрат:
Аналогично, 
Получим:
1. Выпишите числа, являющиеся рациональными:Решение:
а) Сумма чисел : 3,5+2,5=6, разность чисел: 3,5-2,5=1.
Процентное отношение разности чисел к их сумме: 1 : 6 * 100% = 100/6%.
Ответ:
10. а) Представьте число 36 в виде суммы двух слагаемых, пропорциональных числам 4 и 5.
б) Представьте число 51 в виде суммы двух слагаемых, пропорциональных числам 3 и 5.
Решение:
а) Т.к. слагаемые пропорциональны числам 4 и 5, то всего частей 4+5=9.
36 : 9 = 4 - на одну часть.
4 * 4 = 16 - первое слагаемое.
4 * 5 = 20 - второе слагаемое.
Ответ: 16; 20.
11. Найдите х из пропорции:
Решение:
а) Упростим выражение:
Воспользуемся свойством пропорции:
12. а) Число 48 увеличили на 12%, а затем полученное число увеличили на 10%. Найдите число, которое получилось в результате.
б) Число 80 увеличили на 40%, а затем полученное число уменьшили на 25%, Найдите число, которое получилось в результате.
Решение:
а) увеличим число 48 на 12%: 48 + 48 : 100 *12% = 48 + 5,76 = 53,76.
Увеличим полученное число 53,76 на 10%: 53,76 + 53,76 : 100 * 10% = 53,76 + 5,376 = 59,136.
Ответ: 59,136.
13. а) На сколько процентов изменилось число, если его увеличили на 6/25?
б) На сколько процентов изменилось число, если его уменьшили на 3/10?
Решение:
а) Пусть 1 - исходное число, оно составляет 100%.
1 - 100%
6/25 - х%
Составим пропорцию и найдем х:
1 : 6/25 = 100 * х;
х = 100 * 6/25;
х = 24.
Ответ: увеличилось на 24%.
14. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
а) К числителю прибавим корень из двух и разделим выражение почленно. При решении пользуемся домножением на сопряженное выражение.
15. Найдите значение выражения (№ 1.5.42 [7]):
Решение:
а) Выделим в выражении
полный квадрат:Получим:
Ответ: 2/3.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
2. Выпишите числа, представленные в стандартном виде:
3,9·109; 0,1·10-5; 18·105; 5·103; 10-2
3. Найдите число, если:
а) 15 % от него равны 19; б) 42% от него равны 50.
4. а) Найдите 16% от числа 3,7; б) найдите 58% от числа 1,9.
5. Найдите число, если 30% от него равны
6. Из 42 поездов, приходящих на станцию, отношение пассажирских к скорым составляет 4:3. Сколько скорых поездов приходит на станцию?
7. Во сколько раз 2% от 4 больше, чем 0,4% от 1?
8. Найдите положительное число, если 45% от него равны 20% от числа, ему обратного.
9. Что больше: 20% от 25% торта или 15% от 30% торта?
10. Докажите, что значение выражения является рациональным числом
