МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Например:
Корнями квадратного уравнения называют такие значения переменной,
при которых квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство.
Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или
установить, что корней нет.
3x2+2x-5=0, здесь а =3; b = 2; c = -5.
Коэффициенты a , b и с называют:
а — первый или старший коэффициент;
b — второй коэффициент или коэффициент при х;
с — свободный член.
Приведённым называют квадратное уравнение у которого старший
коэффициент равен 1 : x2+2x-5=0 - приведенное квадратное уравнение.
Если старший коэффициент отличен от 1 , то уравнение называется неприведённым: 3x2+2x-5=0 - неприведенное квадратное уравнение.
Полное квадратное уравнение — уравнение в котором присутствуют все три слагаемых : 3x2+2x-5=0 - полное квадратное уравнение.
Неполное квадратное уравнение — уравнение в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равны нулю : 3x2-5=0; 3x2+2x=0; 3x2=0 - неполные квадратные уравнения.
а — первый или старший коэффициент;
b — второй коэффициент или коэффициент при х;
с — свободный член.
Приведённым называют квадратное уравнение у которого старший
коэффициент равен 1 : x2+2x-5=0 - приведенное квадратное уравнение.
Если старший коэффициент отличен от 1 , то уравнение называется неприведённым: 3x2+2x-5=0 - неприведенное квадратное уравнение.
Полное квадратное уравнение — уравнение в котором присутствуют все три слагаемых : 3x2+2x-5=0 - полное квадратное уравнение.
Неполное квадратное уравнение — уравнение в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равны нулю : 3x2-5=0; 3x2+2x=0; 3x2=0 - неполные квадратные уравнения.
при которых квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство.
Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или
установить, что корней нет.
Решение полного квадратного уравнения ax2+bx+c=0:
1) Находим дискриминант D=b2-4ac
если D < 0 , то квадратное уравнение не имеет корней;
если D = 0 , то квадратное уравнение имеет один корень:
если D = 0 , то квадратное уравнение имеет один корень:
если D > 0 , то квадратное уравнение имеет два корня
Например:
Решить уравнение: 2x2+3x-2=0
D=9-4*2*(-2)=25
Ответ: -2; 0,5.
Решение неполного квадратного уравнения ax2+bx=0:
ax2+bx=0;
х(ах+b)=0;
x=0 или ax+b=0;
x=-b/a.
Решение неполного квадратного уравнения ax2+c=0:
ax2+c=0;
x2=-c/a;
Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виетта
Для приведенного квадратного уравнения x² + bx + c = 0 сумма корней равна коэффициенту b , взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену c:x1 + x2 = – b ; x1 • x2 = c .
В неприведенном квадратном уравнении ax² + bx + c = 0:
x1 + x2 = – b/a; x1 • x2 = c/a.
Например:
Решить уравнение x2-5x+6=0.
x1 + x2=5; x1 • x2=6. Можно догадаться, что х1=2, х2=3.
Биквадратное уравнение
Биквадратным называется уравнение вида ax 4 + bx 2 + c = 0, где a не равно нулю.
Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной.
Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной.
Решение биквадратного уравнения:
1. Пусть x 2 = y, приходим к квадратному уравнению ay 2 + by + c =0.
2. Решаем квадратное уравнение ay 2 + by + c =0 относительно переменной у.
3. Решаем уравнения: x 2 = y1 и x 2 = y2. Находим значения х.
Например:
Решить уравнение x 4 + x 2 -2=0
1. Пусть x 2 = y, тогда y 2 + y - 2 =0.
2. D=1+8=9. y1=(-1+3)/2=1; y2=(-1-3)/2=-2.
3. x 2 =1, следовательно х1=1 и х2=-1.
x 2 =-2 - нет решений.
Ответ: -1; 1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Запишите квадратное уравнение ax2+bx+c=0, если:
а) a=-6, b=3, c=-1; б) a=0,8, b=-5, c=4.
Решение:
а) -6x2+3x-1=0.
Решение:
а) -6x2+3x-1=0.
2. Укажите уравнение, которое не имеет корней:
а) 1) (x-2)2=-4; 2) (x-1)2-4=0. б) 1) (x+3)2=9; 2) (x+2)2+16=0.
Решение:
а) (x-2)2=-4 не имеет корней, т.к. (x-2)2 не может быть отрицательным числом;
уравнение (x-1)2-4=0 имеет корни (x-1)2=4, |x-1|=2, следовательно х-1=2 или х-1=-2 и х=3 или х=-1.
Ответ: 1)(x-2)2=-4
Решение:
а) (x-2)2=-4 не имеет корней, т.к. (x-2)2 не может быть отрицательным числом;
уравнение (x-1)2-4=0 имеет корни (x-1)2=4, |x-1|=2, следовательно х-1=2 или х-1=-2 и х=3 или х=-1.
Ответ: 1)(x-2)2=-4
3. Используя теорему Виетта, проверьте, являются ли корнями уравнения:
а) x² + x - 6 = 0 числа х1=-3; х2=2; б) x² -7x + 12 = 0 числа х1=-4; х2=-3.
Решение:
а) по теореме Виетта х1+х2=-3+2=-1=-b (b=1); x1*x2=(-3)*2=-6=c (c=-6), следовательно х1 и х2 являются корнями данного уравнения.
Ответ: являются
Решение:
а) по теореме Виетта х1+х2=-3+2=-1=-b (b=1); x1*x2=(-3)*2=-6=c (c=-6), следовательно х1 и х2 являются корнями данного уравнения.
Ответ: являются
4. Из уравнений x² + x - 6 = 0; x 4 + x 2 -2=0; 5x2-2=0;
4x² + 2x - 7 =0; x2+4x=0; 8x2=0 выпишите:
а) неполные квадратные уравнения; б) полные квадратные уравнения.
Решение:
а) В неполных квадратных уравнениях коэффициенты b и с могут быть равны 0, следовательно 5x2-2=0; x2+4x=0; 8x2=0 - неполные квадратные уравнения.
Решение:
а) В неполных квадратных уравнениях коэффициенты b и с могут быть равны 0, следовательно 5x2-2=0; x2+4x=0; 8x2=0 - неполные квадратные уравнения.
5. Из уравнений x² + x - 6 = 0; 5x2-2х+4=0; 4x² + 2x - 7 =0;
x2+4x-1=0; 8x2=0 выпишите:
а) приведенные квадратные уравнения; б) неприведенные квадратные уравнения.
Решение:
а) в приведенных квадратных уравнениях коэффициент а равен 1, следовательно x² + x - 6 = 0; x2+4x-1=0 - приведенные квадратные уравнения.
Решение:
а) в приведенных квадратных уравнениях коэффициент а равен 1, следовательно x² + x - 6 = 0; x2+4x-1=0 - приведенные квадратные уравнения.
6. Решите уравнения:
а) 1,2x2-7,5х=0; б) 1,2x2+8,4х=0.
Решение:
а) 1,2x2-7,5х=0 - неполное квадратное уравнение.
х(1,2х-7,5)=0,
х=0 или 1,2х-7,5=0,
1,2х=7,5,
х=7,5:1,2,
х=6,25.
Ответ: 0; 6,25.
Решение:
а) 1,2x2-7,5х=0 - неполное квадратное уравнение.
х(1,2х-7,5)=0,
х=0 или 1,2х-7,5=0,
1,2х=7,5,
х=7,5:1,2,
х=6,25.
Ответ: 0; 6,25.
7. Решите уравнения:
а) 2x2-32=0; б) 2x2+72=0.
Решение:
а) 2x2-32=0 - неполное квадратное уравнение,
2x2=32,
x2=32:2,
x2=16,
х=-4 или х=4.
Ответ: -4; 4.
Решение:
а) 2x2-32=0 - неполное квадратное уравнение,
2x2=32,
x2=32:2,
x2=16,
х=-4 или х=4.
Ответ: -4; 4.
8. Решите уравнения:
а) 0,5x2-1,3х-0,6=0; б) 0,5x2+1,2x-6,5=0
Решение:
а) 0,5x2-1,3х-0,6=0;
D=(-1,3)2-4*0,5*(-0,6)=1,69+1,2=2,89;
x1=(1,3+1,7):(2*0,5)=3; x2=(1,3-1,7):(2*0,5)=-0,4.
Ответ: -0,4; 3.
Решение:
а) 0,5x2-1,3х-0,6=0;
D=(-1,3)2-4*0,5*(-0,6)=1,69+1,2=2,89;
x1=(1,3+1,7):(2*0,5)=3; x2=(1,3-1,7):(2*0,5)=-0,4.
Ответ: -0,4; 3.
9. Решите уравнения:
а) 4x2+6x=9x2-15x; б)
12x+6x2=5x2-7x.
Решение:
а) 4x2+6x=9x2-15x;
4x2+6x-9x2+15x=0;
-5x2+21x=0 - неполное квадратное уравнение;
х(-5х+21)=0;
х=0 или -5х+21=0;
-5х=-21;
х=4,2.
Ответ: 0; 4,2.
Решение:
а) 4x2+6x=9x2-15x;
4x2+6x-9x2+15x=0;
-5x2+21x=0 - неполное квадратное уравнение;
х(-5х+21)=0;
х=0 или -5х+21=0;
-5х=-21;
х=4,2.
Ответ: 0; 4,2.
10. Найдите разность и произведение корней уравнения:
а) x2-x-3=0; б) x2+x-5=0.
Решение:
а) x2-x-3=0;
Произведение корней по теореме Виетта равно -3.
Найдем корни уравнения:
D=(-1)2+4*3=13;
- разность корней.
Решение:
а) x2-x-3=0;
Произведение корней по теореме Виетта равно -3.
Найдем корни уравнения:
D=(-1)2+4*3=13;
- разность корней.11. Решите уравнения:
a) (3x+1)2+(3x+1)=20; б)(x+1)2-(x+1)=14.
Решение:
а) (3x+1)2+(3x+1)=20;
1 способ: раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
9x2+6x+1+3x+1-20=0;
9x2+9x-18=0;
x2+x-2=0;
по теореме Виетта х1+х2=-1, х1*х2=-2, следовательно х1=-2, х2=1.
2 способ: заменим (3х+1) на у, получим:
у2+у-20=0;
по теореме Виетта у1+у2=-1, у1*у2=-20, следовательно у1=-5, у2=4.
Найдем х: 3х+1=-5, х=-2 и3х+1=4, х=1.
Ответ: -2; 1.
Решение:
а) (3x+1)2+(3x+1)=20;
1 способ: раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
9x2+6x+1+3x+1-20=0;
9x2+9x-18=0;
x2+x-2=0;
по теореме Виетта х1+х2=-1, х1*х2=-2, следовательно х1=-2, х2=1.
2 способ: заменим (3х+1) на у, получим:
у2+у-20=0;
по теореме Виетта у1+у2=-1, у1*у2=-20, следовательно у1=-5, у2=4.
Найдем х: 3х+1=-5, х=-2 и3х+1=4, х=1.
Ответ: -2; 1.
12. Решите уравнения:
a) x4 +2x2-3=0;
б)
x4 -3x2-4=0.
Решение:
а) x4 +2x2-3=0 - биквадратное уравнение.
Введем замену x2=у:
у2+2у-3=0;
по теореме Виетта у1+у2=-2, у1*у2=-3, следовательно у1=-3,у2=1.
Решение:
а) x4 +2x2-3=0 - биквадратное уравнение.
Введем замену x2=у:
у2+2у-3=0;
по теореме Виетта у1+у2=-2, у1*у2=-3, следовательно у1=-3,у2=1.
Найдем х: x2=-3 - нет решений; x2=1, следовательно х=-1 или х=1.
Ответ: -1; 1.
Ответ: -1; 1.
13. Решите уравнения:
a) x4 -7x2+12=0;
б)
x4 -3x2+2=0.
Решение:
а) x4 -7x2+12=0 - биквадратное уравнение.
Решение:
а) x4 -7x2+12=0 - биквадратное уравнение.
Введем замену x2=у:
у2-7у+12=0;
по теореме Виетта у1+у2=7, у1*у2=12, следовательно у1=3,у2=4.
у2-7у+12=0;
по теореме Виетта у1+у2=7, у1*у2=12, следовательно у1=3,у2=4.
Найдем х: x2=4, следовательно х=-2 или х=2.
x2=3, следовательно
x2=3, следовательно
14. При каких значениях х трехчлены принимают противоположные значения:
а) 4х2-5х+12 и х-2х2-12;
б) 8-5х+7х2 и 5х-2х2-133.
Решение:
а) 4х2-5х+12 =-( х-2х2-12);
4х2-5х+12 = -х+2х2+12;
2х2-4х=0;
2х(х-2)=0;
2х=0 или х-2=0;
x=0 или x=2
Ответ: 0; 2.
Решение:
а) 4х2-5х+12 =-( х-2х2-12);
4х2-5х+12 = -х+2х2+12;
2х2-4х=0;
2х(х-2)=0;
2х=0 или х-2=0;
x=0 или x=2
Ответ: 0; 2.
15. Решите уравнения:
А) (х+1)4+9(х+1)2+20=0; б) (2х-3)4-(2х-3)2-3=0.
Решение:
а)(х+1)4+9(х+1)2+20=0 - биквадратное уравнение.
Решение:
а)(х+1)4+9(х+1)2+20=0 - биквадратное уравнение.
Введем замену (x+1)2=у:
у2+9у+20=0;
по теореме Виетта у1+у2=-9, у1*у2=20, следовательно у1=4,у2=-5.
у2+9у+20=0;
по теореме Виетта у1+у2=-9, у1*у2=20, следовательно у1=4,у2=-5.
Найдем х: (x+1)2=-5, решений нет.
(x+1)2=4, следовательно х+1=-2 или х+1=2; х=-3 или х=1.
(x+1)2=4, следовательно х+1=-2 или х+1=2; х=-3 или х=1.
Ответ: -3; 1.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Из уравнений 3x² - 6х = 0; x 2 + x -1=0; 5x2-2х=4; 6х-4=0; 2x2 =0; 4x² + 2x - 7 =0; x2+x=0; -6x2=0 выпишите:
а) неполные квадратные уравнения; б) полные квадратные уравнения.
x² -9 =0; x² + 3x =0; x² - 3x =0.
3. Используя теорему Виетта, запишите сумму и произведение корней уравнения:
а) 5x2+8х-4=0; б) 8x2+85х-4=0.
4. Решите уравнения:
а) 4x2-3х=0; б) x2-1,21=0; в) x2+81=0.
5. Решите уравнения:
x2-13х+42=0.
6. Решите уравнения:
5х(x+1)-2(2x+3)=0.
7. Найдите произведение корней уравнения:
а) x2-5(х-2)2=1; б) x2-3(х+2)2=-2.
8. Решите уравнения:
a) x4 -3x2-4=0; б) x4 +2x2-3=0.
9. Решите уравнение относительно х:
а) x2-5ах+6а2=0; б) x2-7ах+10а2=0.
10. Известно, что квадратное уравнение ax2-bx+c=0 имеет корни х1 и х2. Найдите корни уравнений:
а) ax2+bx+c=0; б) сx2-bx+а=0.
5. Решите уравнения:
x2-13х+42=0.
6. Решите уравнения:
5х(x+1)-2(2x+3)=0.
7. Найдите произведение корней уравнения:
а) x2-5(х-2)2=1; б) x2-3(х+2)2=-2.
8. Решите уравнения:
a) x4 -3x2-4=0; б) x4 +2x2-3=0.
9. Решите уравнение относительно х:
а) x2-5ах+6а2=0; б) x2-7ах+10а2=0.
10. Известно, что квадратное уравнение ax2-bx+c=0 имеет корни х1 и х2. Найдите корни уравнений:
а) ax2+bx+c=0; б) сx2-bx+а=0.
