МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Равномерное движение
Формула равномерного движения:
S = v · t,
где S – путь, t – время, v – скорость.
Путь равен произведению скорости на время движения.
Если известны расстояние и время, то скорость находится по формуле: v = S : t.
где S – путь, t – время, v – скорость.
Путь равен произведению скорости на время движения.
Если известны расстояние и время, то скорость находится по формуле: v = S : t.
Если известны расстояние и скорость, то время находится по формуле: t = S : v.
1. Движение навстречу друг другу
Если первоначальное расстояние между двумя телами, движущимися навстречу друг другу со скоростями v1 и v2, равно S, то время, через которое они встретятся, равно: t = S : (v1 + v2).
2. Движение в противоположные стороны
Расстояние между двумя телами, движущимися в противоположные стороны со скоростями v1 и v2, через время t равно S = S0 + (v1 + v2) · t, где S0 – первоначальное расстояние между ними. S0 = 0, если движение тел начинается из одной точки.
3. Движение в одном направлении
Если два тела, находящиеся перед началом движения на расстоянии S, движутся в одном направлении со скоростями v1 и v2, где v2 > v1, то возможны два случая:1. Тело с большей скоростью догоняет тело с меньшей скоростью. В этом случае «скорость сближения» равна разности скоростей (v2–v1), а время, через которое второе тело догонит первое, равно: t = S : (v2 – v1).
2. Тело с большей скоростью «убегает» от тела с меньшей скоростью. В этом случае «скорость удаления» также равна разности скоростей (v2 – v1), а расстояние, которое будет между телами через время t, равно: S1 = S + (v2 – v1) · t.
Движение по течению и против течения
Скорость тела, движущегося по течению реки, равна сумме собственной скорости тела (скорость в стоячей воде) и скорости течения реки.
Скорость тела, движущегося против течения реки, равна разности собственной скорости тела и скорости течения реки.
Если в условии задачи речь идет о движении плотов, то этим хотят сказать, что тело движется со скоростью течения реки (собственная скорость плота равна нулю).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пройденный путь s, его скорость v и время движения t связаны соотношением s = vt. Найдите скорость движения, если:
а) за 5 ч путь составил 45 км;
б) за 3 ч путь составил 21 км.
Решение:
а) v=s:t; v=45:5=15 (км/ч)
Ответ: 15 км/ч
2. а) Туристы за 1 ч преодолевают 3 км. Сколько километров прошли туристы за половину часа? Выберите правильный ответ:
1) 1 км; 2) 1,5 км; 3) 3 км.
б) Туристы за треть часа проплывают на байдарках 2 км. Сколько километров туристы преодолевают за 1 ч? Выберите правильный ответ:
1)12 км; 2) 3 км; 3) 6 км.
Решение:
а) Скорость движения v=s:t, v=3:1=3 км/ч
Время в пути 0,5 ч
Тогда туристы прошли S = v · t = 3*0,5=1,5 км
Ответ: 2)1,5 км
3. а) Катер шел 3 ч со скоростью 16,2 км/ч и 7 ч — со скоростью 17,5 км/ч. Определите его среднюю скорость.
б) Велосипедист ехал 2 ч со скоростью 11,8 км/ч и 3 ч — со скоростью 11,3 км/ч. Определите его среднюю скорость.
Решение:
а) 1)3*16,2+7*17,5=171,1 (км) - весь путь катера
2) 3+7=10 (ч) - время, затраченное катером на весь путь
3) 171,1:10=17,11 (км/ч) - средняя скорость катера
Ответ: 17.11 км/ч
а) 1)3*16,2+7*17,5=171,1 (км) - весь путь катера
2) 3+7=10 (ч) - время, затраченное катером на весь путь
3) 171,1:10=17,11 (км/ч) - средняя скорость катера
Ответ: 17.11 км/ч
4. а) Велосипедист думал добраться с дачи в город за 3 ч. Однако он увеличил скорость на 1,5 км/ч и поэтому прибыл в город через 2 ч. Чему равно расстояние от дачи до города?
б) Расстояние между городами автомобиль преодолел за 2 ч, а автобус — за 3 ч, так как скорость автомобиля была на 25 км/ч больше скорости автобуса. Найдите расстояние между городами.
Решение:
а) Пусть х - первоначальная скорость велосипедиста, тогда расстояние от города до дачи равно 3х, при первоначальной скорости и, расстояние равно (х+1,5)*2 при новой скорости. Так как он проехал одно и то же расстояние, то 3х=(х+1,5)*2.
Решим уравнение:
3х=(х+1,5)*2;
3х=2х+3;
х=3 (км/ч) - первоначальная скорость.
S=3*3=9 (км) - расстояние от города до дачи
Ответ: 9 км
5. а) Катер прошел 150 км против течения реки за 5 ч. Сколько времени он затратит на обратный путь, если скорость течения реки 3 км/ч?
б) Яхта прошла 280 км по течению реки за 7 ч. Сколько времени она затратит на обратный путь, если скорость течения реки 4 км/ч?
Решение:
а) 1) 150:5=30(км/ч) - скорость катера против течения реки
2) 30+ 3=33 (км/ч) - собственная скорость катера
3) 33+3=36 (км/ч) - скорость катера по течению
4) 150:36=4 1/6 (ч) - время на обратный путь
Ответ: 4 1/6 ч
6. а) Две группы туристов одновременно выходят на шоссе и движутся в противоположных направлениях. Скорость первой группы 3 км/ч, а скорость второй группы 1,75 м/с. Определите расстояние между ними через 20 мин, если в момент выхода групп на шоссе расстояние между ними было 900 м.
б) Велосипедист и мотоциклист одновременно выезжают на шоссе и движутся в противоположных направлениях. Скорость велосипедиста 8 км/ч, а скорость мотоциклиста 15 м/с. Определите расстояние между ними через 10 мин, если в момент выезда на шоссе расстояние между ними было 700 м.
Решение:
а) 1) 1,75 м/с = 1,75 * 3600 : 1000= 6,3 км/ч
2) 20 мин = 1/3 ч
3) 900 м= 0,9 км
4) (3+6,3)* 1/3 = 3,1 (км) - прошли вместе за 20 минут
5) 3,1+0,9=4 (км) - расстояние между ними за 20 минут
Ответ: 4 км
7. а) Два автомобиля одновременно выезжают навстречу друг другу. Скорость первого автомобиля равна 18 м/с, а второго — 90 км/ч. Определите расстояние между ними через 20 мин, если в момент выезда на шоссе расстояние между автомобилями было 110 км.
б) Велосипедист и мотоциклист одновременно выезжают на шоссе навстречу друг другу. Скорость велосипедиста 6 м/с, а скорость мотоциклиста 40,5 км/ч. Определите расстояние между ними через 10 мин, если в момент выезда на шоссе расстояние между ними было 15 000 м.
Решение:
а) 1) 18 м/с= 18*3600:100=64,8 км/ч
2) 20 мин = 1/3 ч
3) (64,8+90)* 1/3=51,6 (км) - проехали вместе за 20 мин
4) 110-51,6=58,4 (км) - расстояние между ними через 20 мин
Ответ: 58,4 км
8. а) Расстояние, равное 124 км, теплоход прошел по течению за 5 ч, а против течения — за 8 ч. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения реки.
б) Расстояние, равное 120 км, яхта прошла против течения за 5 ч, а по течению — за 3 ч. Найдите собственную скорость яхты и скорость течения реки.
Решение:
а) Пусть х - собственная скорость теплохода, а - скорость течения.
Скорость по течению (х+а), скорость против течения (х-а).
Составим уравнения и решим систему:
Ответ: 20,15 км/ч; 4,65 км/ч
9. а) Велосипедист проехал 15 км от города до дачи. Возвращаясь обратно, он снизил скорость на 3 км/ч. На весь путь туда и обратно велосипедист затратил 2 ч 30 мин. Найдите скорость, с которой велосипедист ехал из города до дачи.
б) Пешеход должен был пройти 5 км за определенное время, но он задержался с выходом на 15 минут. Поэтому, чтобы прийти вовремя, он шел со скоростью, превышающей намеченную скорость на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход?
а) Пусть х - собственная скорость теплохода, а - скорость течения.
Скорость по течению (х+а), скорость против течения (х-а).
Составим уравнения и решим систему:
Ответ: 20,15 км/ч; 4,65 км/ч
9. а) Велосипедист проехал 15 км от города до дачи. Возвращаясь обратно, он снизил скорость на 3 км/ч. На весь путь туда и обратно велосипедист затратил 2 ч 30 мин. Найдите скорость, с которой велосипедист ехал из города до дачи.
б) Пешеход должен был пройти 5 км за определенное время, но он задержался с выходом на 15 минут. Поэтому, чтобы прийти вовремя, он шел со скоростью, превышающей намеченную скорость на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход?
Решение:
а) Пусть х - первоначальная скорость. Время, затраченное на проезд от города до дачи равно 15:х ч. Время, затраченное на проезд от дачи в город равно 15:(х-3) ч.
На весь путь затрачено 2,5 часа. Составим уравнение:
а) Пусть х - первоначальная скорость. Время, затраченное на проезд от города до дачи равно 15:х ч. Время, затраченное на проезд от дачи в город равно 15:(х-3) ч.
На весь путь затрачено 2,5 часа. Составим уравнение:
Ответ: 13,7 км/ч
10. а) Расстояние АВ пассажирский поезд проходит за 3 ч, а электропоезд — за 4 ч. Из пункта А в пункт В отправился пассажирский поезд и одновременно из пункта В в пункт А — электропоезд. Через какое время после встречи поезд прибудет в пункт А?
б) Расстояние АВ пассажирский поезд проходит за 5 ч, а электропоезд — за 7 ч. Из пункта А в пункт В отправился пассажирский поезд и одновременно из пункта В в пункт А электропоезд. Через какое время после встречи электропоезд прибудет в пункт А?
а) Решение:
Пусть V1 - скорость пассажирского поезда, V2 - скорость электропоезда.
S - расстояние АВ. V1=S:3, V2=S:4.
Так как поезда двигались навстречу друг другу, то вместе до встречи они прошли путь S=(V1+V2)*t, где t - время до встречи.
1) t=S:(V1+V2); t=S:(S:3+S:4)=12/7 (ч) - время до встречи.
2) 4-12/7=2 2/7 (ч) - время, через которое после встречи электропоезд прибудет в пункт А.
Ответ: 2 2/7 часа
11. а) Мышь двигалась вниз по движущемуся вниз транспортеру и пробежала 35 секций. Затем она побежала вверх по тому же транспортеру с той же скоростью относительно его и пробежала 210 секций. Сколько секций пробежит мышь, спускаясь по неподвижному транспортеру?
б) Мышь двигалась вверх по движущемуся вниз транспортеру и пробежала 120 секций. Затем она двигалась вниз по тому же транспортеру с той же скоростью относительно его и насчитала 40 секций. Сколько секций пробежит мышь, спускаясь по неподвижному транспортеру?
Пусть х - количество секций, V - скорость мыши, V1 - скорость транспортера. Если мышь движется вниз, то скорость равна V+V1 и время равно t1=x:(V+V1).
Если мышь движется вверх, то скорость равна V-V1 и время равно t2=x:(V-V1).
Путь, пройденный при движении вниз: S=t1*V =x:(V+V1)*V=35.
Путь, пройденный при движении вверх: S=t2*V =x:(V-V1)*V=210.
Т.к. правые части уравнений системы равны, то приравняем их левые части.
6V-6V1-V-V1=0
5V-7V1=0
V=1,4V1 (V≠V1 и V≠-V1).
12. а) Две мухи движутся по окружности. Если они движутся в разных направлениях, то встречаются через каждые 8 с. При движении в одном направлении одна муха догоняет другую через каждые 24 с. Найдите, за сколько секунд каждая муха проходит окружность.
б) Две бабочки движутся по окружности. Если они движутся в разных направлениях, то встречаются через каждые 16 с. При движении в одном направлении одна бабочка догоняет другую через каждые 64 с. Найдите, за сколько секунд каждая бабочка проходит окружность.
Решение:
а) Пусть по окружности движутся две мухи А и В. х - время прохождения окружности мухой А; у - время прохождения окружности мухой В.
Пусть путь, который проходит муха равен 1, тогда 1:х - скорость мухи А и 1:у - скорость мухи В.
1:х+1:у - скорость, когда мухи движутся в разных направлениях.
1:х-1:у - скорость, когда мухи движутся в одном направлении.
Выразим время:
Упростим оба уравнения и домножим обе части первого уравнения на 3.
Т.к. правые части уравнений равны, то приравняем их левые части.
Приведем к общему знаменателю и выразим у: у=2х (х≠у и х≠-у).
Подставим в уравнение у вместо х:
ответ: 12 с, 24 с.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Собственная скорость движения теплохода 45,5 км/ч. Найдите скорость течения реки, если при движении против течения скорость теплохода равна 40,2 км/ч. Выберите правильное выражение для решения задачи:1) ((45,5+ 40,2): 2) км/ч;
2) (45,5-40,2) км/ч;
3) ((45,5-40,2): 2) км/ч.
2. Моторная лодка шла 5 ч со скоростью 15,2 км/ч и 3 ч — со скоростью 14,2 км/ч. Определите ее среднюю скорость.
3. Лыжники в течение 6 ч шли со скоростью 9 км/ч и в течение 4 ч — со скоростью 8 км/ч. Найдите среднюю скорость движения лыжников.
4. Катер шел по течению реки 4 ч и 6 ч — против течения. Найдите скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде 32 км/ч и за все путешествие катер прошел 310 км.
5. Расстояние между пристанями, равное 50 км, катер проходит туда и обратно за 7 ч, причем на остановки в пути он тратит 2 ч. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 22 км/ч.
6. Скорый поезд за час проходит 65 км, а пассажирский — 45 км. Определите расстояние между двумя городами, если известно, что скорый поезд проходит это расстояние на 3 ч 25 мин быстрее пассажирского.
7. Из пункта А в пункт В отправился пассажирский поезд, в то же время из пункта В в пункт А отправился грузовой поезд. Скорость каждого из них на всем участке движения постоянна. Через 3 ч после того, как поезда встретились, расстояние между ними составило 200 км. Пассажирский поезд прибыл в пункт В через 3 ч, а грузовой — в пункт А через 10 ч. Найдите скорость грузового поезда.
10. Окружность переднего колеса экипажа в 2,5 раза меньше
окружности заднего. Если окружность переднего колеса увеличить на 2 дм, а
заднего — на 1 дм, то на расстоянии 150 м переднее колесо сделает на 50
оборотов больше заднего. Каковы длины окружностей колес?