УПРАЖНЕНИЯ
1. Укажите уравнения, которые не имеют корней:а) 3х+5=0; x3+27=0; |x-1|+3=0; x2+9=0.
б) 2/(х+1)=0; |x-5|-3=0; 4х+5=0; x2+16=0.
Решение:
а) 3х+5=0; x3+27=0; |x-1|+3=0; x2+9=0.
3х=5; x3=-27; |x-1|=-3; x2=-9.
х=5/3. х=-3. Модуль не может Квадрат не может быть
быть равен равен отрицательному числу.
отрицательному числу.
Ответ: |x-1|+3=0; x2+9=0.
2. Могут ли отрезки с данной длиной быть сторонами треугольника:
а) 12 см, 13 см, 14 см; 4 см, 6 см, 11 см;
б) 10 см, 6 см, 8 см; 6 см, 8 см, 15 см?
Решение:
а) Три отрезка могут быть сторонами треугольника, если сумма длин двух из них больше длины третьего отрезка.
Проверим выполнение данного условия для отрезков 12 см, 13 см, 14 см:
12+13>14, верно,
12+14>13, верно,
13+14>12, верно, следовательно отрезки с длинами 12 см, 13 см, 14 см могут быть сторонами треугольника.
Проверим выполнение данного условия для отрезков 4 см, 6 см, 11 см:
4+6>11, неверно, следовательно отрезки с длинами 4 см, 6 см, 11 см не могут быть сторонами треугольника.
Ответ: могут; не могут.
3. Найдите значение выражения:
а) sin45°+cos45°-2;
б) cos60°-sin60°+4.
Решение:
а)
4. Найдите область определения функции:
а) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, следовательно,
D=[8; +∞).
Ответ: [8; +∞).
5. Упростите выражение:
а)
6. Решите систему уравнений:
а)
Система имеет бесконечно много решений.
Пусть х=t, t∈R. Выразим у:
7. Решите уравнение:
а)
Сделаем проверку: 1+1-1=1, следовательно, х=1 является корнем уравнения.
Ответ: 1.
8. а) В треугольнике АВС проведена биссектриса ВК. Найдите площадь треугольника КВС, если АВ=12 см, ВС=8 см и площадь треугольника АВК=60 см2.
б) В четырехугольнике ABCD АС является биссектрисой угла ВАD. Вычислите площадь треугольника ACD, если АВ=8 см, AD=10 см и площадь треугольника АВС равна 64 см2.
а)
Дано: АВС - треугольник;
ВК - биссектриса;
АВ=12 см; ВС=8 см; SABK=60 см2.
Найти: SKBC-?
Решение:
1) Рассмотрим треугольник АВК, проведем высоту КН к стороне АВ.
SABK=0,5КН*АВ, КН=60:12:0,5=10 см.
2) Рассмотрим треугольник КВС, проведем высоту КМ к стороне ВС.
SKBC=0,5КМ*ВС.
КМ=НК=10 см, т.к. каждая точка биссектрисы угла (точка К) равноудалена от сторон угла.
SKBC = 0,5*10*8 = 40 см2.
Ответ: 40 см2.
9. а) В одной емкости находится сметана, жирностью 30%, во второй - 10%. Сколько надо взять сметаны из каждой емкости, чтобы получить 5 л сметаны, жирностью 15%?
б) а) В одной емкости находится сметана, жирностью 36%, во второй - 15%. Сколько надо взять сметаны из каждой емкости, чтобы получить 10 л сметаны, жирностью 20%?
а) Пусть х - количество 30% сметаны, у - количество 10% сметаны.
Содержание жировой составляющей в 5 л 15% сметаны равно 5*15%:100%=0,75 (л).
В х литрах 30% сметаны жировая составляющая равна х*30:100=0,3х.
В у литрах 10% сметаны жировая составляющая равна х*10:100=0,1х.
Составим и решим систему уравнений:
Ответ: 1,25 л 30% сметаны; 3,75 л 10% сметаны.
10. а) Сравнить с нулем выражение:
а) Обозначим число 368972 как а, тогда 368974=а+2.
Обозначим 764797 как b, тогда 764805=b+8.
Получим:
Выражение b(b+8) больше нуля при любом значении b.
Рассмотрим выражение 8a-2b:
2(4a-b), оценим знак выражения 4a-b.
Заменим число а=368972 меньшим числом 360000, а число b=764797 большим числом 770000 и рассмотрим знак выражения 4*360000-770000=1440000-770000>0, следовательно, 4a-b>0.
Следовательно, значение исходного выражения больше нуля.
Ответ: больше нуля.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Выберите числа, которые являются корнями уравнения 2х2-32=0:
4; 0; 16; -16; -4; 2; -2.
2. Является ли треугольник со следующими сторонами прямоугольным?
а) 5 см, 6 см, 5 см; б) 15 см, 25 см, 12 см.
3. Найдите значение выражения sin60°+ 2cos30°+ tg45°.
4. Найдите область определения функции:
5. Упростите выражение:
6. Решите систему уравнений:
7. Решите уравнение:
8. В четырехугольнике АВСD диагонали делят его на четыре треугольника. Найдите площадь одного из четырех треугольников, если площади трех остальных равны 32 см2, 40 см2, 30 см2.
9. В одном сосуде находится 5% раствор марганцовки, в другом - 20% раствор марганцовки. Сколько надо взять раствора из каждого сосуда, чтобы получить 2 л 15% раствора.
10. Вычислите:
