МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Задачи на работу
В задачах на работу речь идёт о какой-то деятельности: трубы заполняют бассейн, комбайнёры убирают урожай, строители строят, копают и так далее.
В таких задачах всегда присутствуют одни и те же величины, их три:
- первая величина - это время, за которое выполняется та или иная работа. Обозначают время буквой t.
- вторая величина - объём работы: сколько сделано деталей, налито воды, вспахано полей и так далее. Обозначим объем буквой О.
- третья величина - производительность. По сути, это скорость работы. Обозначим производительность буквой П.
Скорость любой работы, т.е. производительность можно определить, как объём работы, сделанной за какое-то время.
Получим формулу для производительности: П = О : t.
Пример. Токарь делает 5 деталей в час. Сколько деталей он сделает за 7 часов?
- первая величина - это время, за которое выполняется та или иная работа. Обозначают время буквой t.
- вторая величина - объём работы: сколько сделано деталей, налито воды, вспахано полей и так далее. Обозначим объем буквой О.
- третья величина - производительность. По сути, это скорость работы. Обозначим производительность буквой П.
Скорость любой работы, т.е. производительность можно определить, как объём работы, сделанной за какое-то время.
Получим формулу для производительности: П = О : t.
Пример. Токарь делает 5 деталей в час. Сколько деталей он сделает за 7 часов?
5 деталей в час - производительность
7 часов - время работы
Найти объем.
5 · 7 = 35.
Ответ: 35 деталей.
Пример. Токарь делает 5 деталей в час. Ему нужно сделать 20 деталей. За какое время он выполнит эту работу?
Известны объем и производительность, найти время.
20 : 5 = 4.
Ответ: 4 часа
Пример. Красная Шапочка и Волк очень любят пирожки. Волк может съесть 24 пирожка за 4 часа, а Красная Шапочка - 35 пирожков за 7 часов. У Волка в корзинке 30 пирожков, а у Красной Шапочки - 20. Кто съест свои пирожки раньше, если они начали есть одновременно?
Пример. Красная Шапочка и Волк очень любят пирожки. Волк может съесть 24 пирожка за 4 часа, а Красная Шапочка - 35 пирожков за 7 часов. У Волка в корзинке 30 пирожков, а у Красной Шапочки - 20. Кто съест свои пирожки раньше, если они начали есть одновременно?
Определим производительности Волка и Красной Шапочки. Волк съест 24 пирожка (объём работы) за 4 часа (время). Значит, его производительность: П = О:t = 24:4 = 6 пирожков в час.
Производительность Красной Шапочки: П = О:t = 35:7 = 5 пирожков в час.
Посчитаем сколько времени затратит каждый на свои пирожки.
У Волка 30 пирожков. Значит, затратил времени: t = О:П= 30:6 = 5 часов.
Красная Шапочка потратила на свои 20 пирожков: t = О:П = 20:5 = 4 часа.
Красная Шапочка опередила Волка на один час.
Ответ: Красная Шапочка.
Производительность Красной Шапочки: П = О:t = 35:7 = 5 пирожков в час.
Посчитаем сколько времени затратит каждый на свои пирожки.
У Волка 30 пирожков. Значит, затратил времени: t = О:П= 30:6 = 5 часов.
Красная Шапочка потратила на свои 20 пирожков: t = О:П = 20:5 = 4 часа.
Красная Шапочка опередила Волка на один час.
Ответ: Красная Шапочка.
Как определить производительность в следующих задачах:
- труба заполняет бассейн за 3 часа... (объем работы - бассейн - 1 бассейн);
- бригада строителей строит дом за 150 дней...(объем работы - дом - 1 дом);
- трактор вспахивает поле за 12 часов... (объем работы - поле - 1 поле).
Следовательно, в задачах объем работы равен 1.
Совместная работа возникает, когда несколько человек (бригад, насосов, тракторов и т.д.) выполняют одну и ту же работу вместе, причем они работают с разными скоростями.
Следовательно, в задачах объем работы равен 1.
Задачи на совместную работу
Совместная работа возникает, когда несколько человек (бригад, насосов, тракторов и т.д.) выполняют одну и ту же работу вместе, причем они работают с разными скоростями. Пример. Одна труба может наполнить бассейн за четыре часа. Вторая - за шесть часов. За какое время заполнится бассейн, если обе трубы включить одновременно?
Так как трубы работают вместе, складывают их производительности.
Для первой трубы, которая заполняет 1 бассейн за 4 часа: П = О:t = 1:4, т.е. за час первая труба заполнит 1/4 бассейна.
Для второй трубы: П = О:t = 1:6, т.е. вторая труба заполнит за час 1/6 бассейна.
Вместе, при совместной работе, трубы заполнят за час: 1/4 + 1/6 = 5/12 - две трубы за 1 час.
Объём работы 1 бассейн. Совместная производительность 5/12 бассейна в час.
t = О:П = 1 : 5/12 = 12/5 = 2,4 (ч.)
Ответ:2,4 часа.
УПРАЖНЕНИЯ
1. а) Одна труба заполняет бассейн за 3 ч, а вторая — за 5 ч. За какое время заполнится бассейн, если будут работать две трубы одновременно? Выберите правильное значение:
1) (3+5):2; 2) 1: (3+5); 3) 1: (1/3+1/5).
б) Один насос заполняет бак за 4 ч, а второй — за 2 ч. За какое время заполнится бак, если будут работать два насоса одновременно? Выберите правильное значение:
1) (4+2):2; 2) 1: (1/4+1/2); 3) 1: (4+2).
Решение:
а) Производительность первой трубы - 1/3, производительность второй трубы - 1/5. Общая производительность - 1/3+1/5. Для нахождения затраченного времени при совместной работе разделим объем работы -1 на производительность: 1:(1/3+1/5).
Ответ: 3.
2. а) Два строителя вместе сложили стену за 10 дней, один из них мог бы выполнить эту работу за 16 дней. За сколько дней может выполнить эту работу второй? Выберите правильное значение:
1)1: (1/10+1/16); 2) 1: (1/10-1/16); 3) 1: (16-10).
б) Одна наборщица может набрать рукопись за 12 ч, а две, работая вместе, — за 8 ч. За сколько часов выполнит эту работу вторая наборщица? Выберите правильное значение:
1)1: (1/8-1/12); 2) 1: (1/12+1/8); 3) 1: (12-8).
Решение:
а) Производительность первого строителя - 1/16, общая производительность - 1/10. Производительность второго строителя - 1/10-1/16. Для нахождения затраченного времени вторым строителем разделим объем работы -1 на производительность: 1:(1/10-1/16).
Ответ: 2.
а) Производительность первого строителя - 1/16, общая производительность - 1/10. Производительность второго строителя - 1/10-1/16. Для нахождения затраченного времени вторым строителем разделим объем работы -1 на производительность: 1:(1/10-1/16).
Ответ: 2.
3. а) Папа выполняет всю работу за 4 ч, а его сын— за 7 ч. Какую часть работы они сделают вместе за 1 ч?
б) Мама выполняет всю работу за 1 ч, а дочь эту же работу выполняет за 2 ч. Какую часть работы они сделают вместе за 1 ч?
Решение:
а) Производительность папы - 1/4, производительность сына - 1/7. Производительность общая: 1/4+ 1/7=11/28 всей работы за 1 час.
Ответ: 11/28 работы.
4. а) При одновременной работе 6 комбайнов уберут все поле за 14 ч. За сколько часов уберут поле 8 комбайнов?
б) При одновременной работе 7 комбайнов уберут поле за 14 ч. За сколько часов уберут поле 10 комбайнов?
Решение:
а) 1) 6*14=84 (ч) - понадобится одному комбайну, чтобы убрать все поле.
2) 84 : 8= 10,5 (ч) - понадобится 8 комбайнам, чтобы убрать все поле.
Ответ: 10,5 часов
5. а) 18 студентов, работая по 6 ч в день, прополют все поле все поле. Сколько понадобится студентов, чтобы прополоть это поле за то же время, если они будут работать по 9 ч в день?
б) 12 студентов, работая по 8 ч в день, соберут все яблоки в саду. Сколько понадобится студентов, чтобы убрать все яблоки в этом саду за то же время, если они будут работать по б ч в день?
Решение:
а) 1) 6*18=108 (ч) - понадобится одному студенту, чтобы прополоть все поле.
2) 108 : 9= 12(ст.) - понадобится, чтобы прополоть все поле, работая по 9 ч в день.
Ответ: 12 студентов.
6. а) Производительности дочери и мамы относятся как 2:3. Работая вместе, они прополют огород за 12 ч. За сколько часов прополет огород каждая, работая отдельно?
б) Производительности труда папы и сына относятся как 3 : 5. Работая вместе, они выполнят работу за 15 ч. За сколько часов каждый справится с данной работой, работая отдельно?
Решение:
а) Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда производительность дочери - 2х, а мамы - 3х. Производительность при совместной работе 2х+3х=5х. Объем работы равен 12*5х=60х.
1) 60х:2х=30 (ч) - затратит дочь.
2) 60х:3х=20 (ч) - затратит мама.
Ответ: 30 часов; 20 часов.
7. а) Заказ на печать учебников типография должна была выполнить по плану за 15 дней. Но уже за три дня до срока типография выполнила план, так как печатала ежедневно по 2 тыс. учебников сверх плана. Сколько учебников напечатала типография?
б) Заказ на выпуск станков завод должен был выполнить за 30 дней. Но за три дня до срока завод выполнил заказ, так как выпускал ежедневно по 3 станка сверх плана. Сколько станков выпустил завод?
Решение:
а) Пусть х учебников в день типография должна была печатать по плану, но печатала х+2000 учебников день.
1) 15-3=12 (дн.) - потратила типография на заказ.
15х - количество заказанных учебников, 12(х+2000) - количество напечатанных учебников. Эти количества равны. Составим и решим уравнение:
15х=12(х+2000),
15х=12х+24000,
3х=24000,
х=8000 (м.) - в день должна была печатать типография.
2) 8000*15=120000 (м.) - напечатала типография.
Ответ: 120000 учебников.
а) Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда производительность дочери - 2х, а мамы - 3х. Производительность при совместной работе 2х+3х=5х. Объем работы равен 12*5х=60х.
1) 60х:2х=30 (ч) - затратит дочь.
2) 60х:3х=20 (ч) - затратит мама.
Ответ: 30 часов; 20 часов.
7. а) Заказ на печать учебников типография должна была выполнить по плану за 15 дней. Но уже за три дня до срока типография выполнила план, так как печатала ежедневно по 2 тыс. учебников сверх плана. Сколько учебников напечатала типография?
б) Заказ на выпуск станков завод должен был выполнить за 30 дней. Но за три дня до срока завод выполнил заказ, так как выпускал ежедневно по 3 станка сверх плана. Сколько станков выпустил завод?
Решение:
а) Пусть х учебников в день типография должна была печатать по плану, но печатала х+2000 учебников день.
1) 15-3=12 (дн.) - потратила типография на заказ.
15х - количество заказанных учебников, 12(х+2000) - количество напечатанных учебников. Эти количества равны. Составим и решим уравнение:
15х=12(х+2000),
15х=12х+24000,
3х=24000,
х=8000 (м.) - в день должна была печатать типография.
2) 8000*15=120000 (м.) - напечатала типография.
Ответ: 120000 учебников.
8. а) При совместной работе двух погрузчиков железнодорожный состав был загружен за 4 ч 12 мин. Сколько времени потребуется на загрузку такого же железнодорожного состава каждым погрузчиком, если одним из погрузчиков железнодорожный состав можно загрузить на 8 ч быстрее, чем другим?
б) При совместной работе двух кранов работа была выполнена за 2 ч 6 мин. Сколько времени потребуется для выполнения этой работы каждым краном, если один может выполнить ее на 4 ч быстрее другого?
а) Пусть х - время загрузки состава первым погрузчиком, тогда х+8 - время загрузки состава вторым погрузчиком.
Производительность первого погрузчика - 1/х, второго погрузчика - 1/(х+8). Совместная производительность 1/х+1/(х+8)=(2х+8)/(х(х+8)).
Время совместной работы равно 1 : (2х+8) /(х(х+8))=х(х+8)/(2х+8).
По условию время равно 4 ч 12 мин = 4,2 ч. Составим и решим уравнение:
х(х+8)/(2х+8)=4,2,
х(х+8)=4,2(2х+8),
х2-0,4х-33,6=0,
D=(11,6)2
1) 6+8=14 (ч) - понадобится второму погрузчику.
Ответ: 6 часов, 14 часов.
9. а) Бассейн наполняется через две трубы за 6 ч. Через первую трубу бассейн наполняется на 5 ч быстрее, чем через вторую. За какое время может быть наполнен бассейн через каждую трубу в отдельности?
б) Бак наполняется через две трубы за 2 ч. Через первую трубу бак наполняется на 3 ч быстрее, чем через вторую. За какое время может быть наполнен бак через каждую трубу в отдельности? (№ 6.4.30 [7])
Решение:
а) Пусть х - время заполнения первой трубой, тогда х+5 - время заполнения второй трубой.
Производительность первой трубы 1/х, второй трубы 1/(х+5). Совместная производительность 1/х+1/(х+5)=(2х+5)/(х(х+5)).
Время совместной работы равно 1 : (2х+5) /(х(х+5))=х(х+5)/(2х+5).
По условию время равно 6 ч. Составим и решим уравнение:
х(х+5)/(2х+5)=6,
х(х+5)=6(2х+5),
х2-7х-30=0,
D=(13)2
1) 10+5=15 (ч) - понадобится второй трубе.
Ответ: 10 часов, 15 часов.
а) Пусть х - время заполнения первой трубой, тогда х+5 - время заполнения второй трубой.
Производительность первой трубы 1/х, второй трубы 1/(х+5). Совместная производительность 1/х+1/(х+5)=(2х+5)/(х(х+5)).
Время совместной работы равно 1 : (2х+5) /(х(х+5))=х(х+5)/(2х+5).
По условию время равно 6 ч. Составим и решим уравнение:
х(х+5)/(2х+5)=6,
х(х+5)=6(2х+5),
х2-7х-30=0,
D=(13)2
1) 10+5=15 (ч) - понадобится второй трубе.
Ответ: 10 часов, 15 часов.
10. а) Двое плиточников облицевали стены за 12 ч. Если бы сначала первый облицевал половину стен, а затем второй — вторую половину, то облицовка была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы облицевать стену каждый плиточник в отдельности?
б) Двое каменщиков сложили стену за 6 ч. Если бы сначала первый выложил половину стены, а затем второй — вторую половину стены, то вся стена была бы сложена за 12,5 ч. За какое время мог бы сложить эту стену каждый каменщик в отдельности?
а) Пусть первый работал х часов, второй - у часов. Производительность первого 1/х, второго 1/у. При совместной работе их время равно 1: (1/х+1/у) =12.
Если первый и второй делают по половине работы, то их время равно 0,5:(1/х) +0,5:(1/у)=25. Решим систему из двух уравнений:
(50-у)у-12(80-у)-12у=0,
50у-у2-600+12у-12у=0,
у2-50у+600=0
D=(10)2у2=30 (ч) - работал второй, х1=50-30=20 (ч) - работал первый.
Ответ: 20 часов, 30 часов.
11. а) Рабочий копал траншею. Когда он проработал 7 ч, к нему присоединился второй рабочий. Вместе они проработали 2 ч. За сколько часов может выкопать траншею каждый рабочий, работая отдельно, если первому нужно на это на 4 ч больше, чем второму?
б) Один рабочий работал 9 ч, после чего к нему присоединился другой рабочий. После 7 ч совместной работы они выполнили всю работу. За сколько часов мог бы выполнить работу каждый рабочий, работая самостоятельно, если первому нужно для этого на 3 ч больше, чем второму?
Решение:
а) Пусть х - время работы первого, тогда х-4 - время работы второго.
Производительность первого - 1/х, второго - 1/(х-4).
Объем работы первого - 1/х*(7+2), объем работы второго - 1/(х-4)*2. Весь объем равен 1.
Составим и решим уравнение:
9/х + 2/(х-4)=1,
11х-36=х(х-4),
D=(9)2
х2=12 (ч) - понадобится первому, 2) 12-4=8 (ч) - понадобится второму.
Ответ: 12 часов, 8 часов.
а) Пусть х - время работы первого, тогда х-4 - время работы второго.
Производительность первого - 1/х, второго - 1/(х-4).
Объем работы первого - 1/х*(7+2), объем работы второго - 1/(х-4)*2. Весь объем равен 1.
Составим и решим уравнение:
9/х + 2/(х-4)=1,
11х-36=х(х-4),
D=(9)2
х2=12 (ч) - понадобится первому, 2) 12-4=8 (ч) - понадобится второму.
Ответ: 12 часов, 8 часов.
12. а) Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин совместной работы первый был переведен на другую работу и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 ч больше, чем первому? (№6.5.34 [7])
б) Бассейн может наполняться водой из двух кранов. Если открыть первый кран на 10 мин, а второй — на 20 мин, то бассейн будет наполнен. Если первый кран открыть на 5 мин, а второй — на 15 мин, то заполнится — бассейна. За какое время из каждого крана в отдельности может заполниться весь бассейн?
Решение:
а) Пусть х - время первого, тогда х+1 - время второго. Производительность первого 1/х, производительность второго 1/(х+1). Вместе они работали 45 мин=0,75 ч и выполнили (1/х + 1/(х+1)) * 0,75 часть работы. Второй за 2ч 15 мин=2,25 ч выполнил 1/(х+1)*2,25 часть работы. Составим и решим уравнение:
(1/х + 1/(х+1)) * 0,75 + 1/(х+1)*2,25 =1,
4х2-11х-3=0,
D=(13)2
х2=(11-13):2= -1 не подходит по условию задачи.
1) 3+1=4 (ч) - понадобится второму.
Ответ: 3 часа, 4 часа.
3. Два экскаватора роют траншею. Работая отдельно, первый может вырыть траншею за 10 дней, второй — за 16 дней. За сколько дней они выроют траншею, работая совместно?
4. Водоем заполняется первой трубой за 5 ч, а второй трубой за 4 ч. За сколько часов наполнится водоем, если будут одновременно работать две трубы?
5. Две наборщицы должны были набрать по 120 страниц каждая. Вторая наборщица набирала за 1 ч на 5 страниц меньше, чем первая, поэтому закончила работу на 2 ч позже. Сколько страниц в час набирала первая наборщица?
6. Две бригады рабочих должны по плану изготовить 240 деталей. Первая бригада работала 6 ч, а вторая — 5 ч. Сколько деталей в час изготавливала каждая бригада, если первая делала на 4 детали в час меньше, чем вторая?
7. По плану колхоз каждый день должен был засевать по 20 га. Начав сев, колхоз ежедневно засевал на 5 га больше, чем было предусмотрено планом, поэтому сев был закончен на 2 дня раньше срока. Определите засеянную площадь.
9. Теплоход загружается подъемными кранами. Сначала в течение 4 ч работали три крана одинаковой мощности, затем к ним присоединились еще два крана большей мощности, и через 3 ч после этого загрузка была закончена. Если бы все краны начали работать одновременно, то погрузка была бы закончена за 6 ч. За какое время выполнят погрузку один кран меньшей мощности и один кран большей мощности, работая вместе?
а) Пусть х - время первого, тогда х+1 - время второго. Производительность первого 1/х, производительность второго 1/(х+1). Вместе они работали 45 мин=0,75 ч и выполнили (1/х + 1/(х+1)) * 0,75 часть работы. Второй за 2ч 15 мин=2,25 ч выполнил 1/(х+1)*2,25 часть работы. Составим и решим уравнение:
(1/х + 1/(х+1)) * 0,75 + 1/(х+1)*2,25 =1,
4х2-11х-3=0,
D=(13)2
х2=(11-13):2= -1 не подходит по условию задачи.
1) 3+1=4 (ч) - понадобится второму.
Ответ: 3 часа, 4 часа.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Два экскаватора различной мощности роют котлован. Работая отдельно, первый может вырыть котлован за 5 дней, второй — за 7 дней. За сколько дней они выроют котлован, работая совместно? Выберите правильное значение:
1) (7+5):2; 2) 1: (7+5); 3) 1: (1/7+1/5).
2. Одна из труб может наполнить бассейн за 3 ч, вторая — за 5 ч. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть сразу две трубы? Запишите выражение для решения задачи.
2. Одна из труб может наполнить бассейн за 3 ч, вторая — за 5 ч. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть сразу две трубы? Запишите выражение для решения задачи.
4. Водоем заполняется первой трубой за 5 ч, а второй трубой за 4 ч. За сколько часов наполнится водоем, если будут одновременно работать две трубы?
6. Две бригады рабочих должны по плану изготовить 240 деталей. Первая бригада работала 6 ч, а вторая — 5 ч. Сколько деталей в час изготавливала каждая бригада, если первая делала на 4 детали в час меньше, чем вторая?
8. Два каменщика сложили стену за 20 дней. За сколько
дней выполнил бы эту работу каждый из них в отдельности, если известно, что
первому пришлось бы работать на 9 дней больше, чем второму?
