МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Задача на построение — это задача, в которой требуется построить геометрический объект, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой.Решение задач на построение состоит не только в том, чтобы проделать соответствующие построения, но и описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений.
Этапы решения задачи на построение
Анализ
На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру.Построение
1. перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи;
2. непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов.
2. непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов.
Доказательство
После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи.
Основные задачи на построение
Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, b, с.
Построение:
1) Проведем произвольную прямую и возьмем на ней произвольную точку А.
2) Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром А и радиусом а. Пусть В — точка ее пересечения с прямой.
3) Раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным b — окружность из центра А. Пусть С — точка пересечения этих окружностей.
Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c.
Задача 2. Построить угол, равный данному.
Построение:
1) Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. Пусть В и С — точки пересечения окружности со сторонами угла.
2) Проведем луч с началом в точке О.
3) Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О. Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим М.
4) Опишем окружность с центром М и радиусом ВС. Точка К пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого угла.
∠ВАС=∠КОМ т.к. Δ ABC = Δ ОКМ (третий признак равенства треугольников).
Задача 3. Построить биссектрису данного угла А.
Построение:
1) Из вершины А данного угла, как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть В и С — точки ее пересечения со сторонами угла.
2) Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D — точка их пересечения, отличная от А.
3) Проведем луч AD. Луч AD делит угол А пополам.
∠ВАD=∠DAC т.к. Δ ABD = Δ ACD (третий признак равенства треугольников).
Задача 4. Провести серединный перпендикуляр к данному отрезку АВ.
Построение:
1) Из точки А проводим окружность, радиус которой больше половины отрезка АВ.
2) Из точки В проводим окружность того же радиуса, что и из точки А.
3) Окружности пересекутся между собой в точках С и D. Прямая CD - искомый перпендикуляр.
CD перпендикулярна АВ и АО=ОВ, т.к. из построения, каждая из точек С и D одинаково удалена от А и В, а следовательно, эти точки должны лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.
Задача 5. Разделить данный отрезок пополам.
Построение проводится также как и в задаче 4.
Задача 6. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а.
1 случай: данная точка О лежит на данной прямой а.
Построение:
1) Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках А и В. 2) Из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. С и D — точки их пересечения.
3) Проведем прямую CO. Получаем ОС ⊥ AB.
ОС ⊥ AB, т.к. Δ АСВ — равнобедренный (СА = СВ). Отрезок СО - медиана этого треугольника (АО=ОВ), а следовательно, и высота.
2 случай: данная точка О не лежит на данной прямой а.
1) Из точки О проводим произвольным радиусом окружность, пересекающую прямую а в точках А и В.
2) Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Точки О и С — точки их пересечения.
3) Проводим прямую ОС. ОС ⊥ AB.
ОС ⊥ AB, т.к. точки О и С равноудалены от концов отрезка АВ и, следовательно, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
УПРАЖНЕНИЯ
б) При помощи циркуля и линейки разделите угол на 4 равных угла.
Решение:
а) Дано: отрезок АВ
а) Дано: отрезок АВ
1. Из точки А проведем окружность, радиусом, большим 0,5АВ.
2. Из точки В проведем окружность с тем же радиусом.
3. Через точки пересечения окружностей проведем прямую, точка О - точка пересечения этой прямой и отрезка АВ. АО=ОВ.
4. Из точки А проведем окружность радиусом, большим 0,5АО.
5. Из точки О проведем окружность с тем же радиусом.
6. Через точки пересечения окружностей проведем прямую, точка О1 - точка пересечения этой прямой и отрезка АО. АО1=О1О.
7. Аналогично разделим отрезок ОВ на два равных: ОО2=О2В.
Доказательство:
Отрезок АВ разделен на четыре равных отрезка, т.к. АО=ОВ и АО1=О1О, и ОО2=О2В.
2. а) По катету и прилежащему к нему острому углу при помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник.
б) По гипотенузе и острому углу при помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник.
Решение:
а)
1. На прямой отметим точку А и от точки А отложим отрезок, равный отрезку а, отметим точку В.
2. Из точки В построим прямую, перпендикулярную прямой.
3. Из точки В построим угол, равный углу О.
4. Сторона угла пересекает построенный перпендикуляр в точке С.
АВС - искомый треугольник.
Доказательство:
В треугольнике АВС угол В - прямой, сторона АВ=а, угол САВ равен углу О. Искомый и построенный треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
а)
2. Из точки В построим прямую, перпендикулярную прямой.
3. Из точки В построим угол, равный углу О.
4. Сторона угла пересекает построенный перпендикуляр в точке С.
АВС - искомый треугольник.
Доказательство:
В треугольнике АВС угол В - прямой, сторона АВ=а, угол САВ равен углу О. Искомый и построенный треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
3. а) При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне. Заданные стороны возьмите произвольно.
б) При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к этому основанию. Заданные отрезки возьмите произвольно.
Решение:
а) Т.к. в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то построение треугольника сводится к построению по трем сторонам.
2. Раствором циркуля, равным b, описываем окружность из центра В, и раствором циркуля, равным b — окружность из центра А. Пусть С — точка пересечения этих окружностей.
Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, b, т.е. треугольник АВС - равнобедренный и равен искомому по трем сторонам.
4. а) Постройте прямоугольник по диагонали и стороне. Заданные отрезки возьмите произвольно.
б) Постройте прямоугольник по двум сторонам. Заданные отрезки возьмите произвольно.
Решение:
а) Если известны диагональ и сторона прямоугольника, то можно построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
1. На прямой m отметим точку А и отложим отрезок AD, равный отрезку а.
2. Из точки А проведем окружность радиусом, равным отрезку d.
3. Из точки D построим прямую l, перпендикулярную прямой m.
4. Прямая l и окружность, построенная из точки А пересекаются в точке С.
5. Из точки D проведем окружность, радиусом d.
6. Из точки А проведем окружность радиусом СD.
7. Окружности пересекаются в точке В.
ABCD - прямоугольник.
Доказательство:
АВСD - параллелограмм (из равенства треугольников ABD и АCD: АВ=CD и AB||CD).
А т.к диагонали параллелограмма равны: АС=BD по построению, то он является прямоугольником.
5. а) Разделите данный отрезок на три равные отрезка.
б) Разделите данный отрезок на пять равных отрезков.
Решение:
а)
1. Из точки А проведем луч и отметим на нем с помощью циркуля три равных отрезка: АА1, А1А2, А2А3.
2. Соединим точки А3 и В.
3. На отрезке А3В возьмет произвольно точку О и построим через эту точку перпендикуляр m к прямой А3В.
4. Из точки А2 проведем прямую, перпендикулярную прямой m. В2 - точка пересечения этой прямой и отрезка АВ.
5. Из точки А1 проведем прямую, перпендикулярную прямой m. В1 - точка пересечения этой прямой и отрезка АВ.
АВ1=В1В2=В2В.
Доказательство:
Т.к. перпендикуляры к одной прямой параллельны между собой, то по обобщенной теореме Фалеса АВ1=В1В2=В2В.
6. а) При помощи циркуля и линейки провести касательную к окружности с заданным центром из точки, которая лежит не на окружности.
б) При помощи циркуля и линейки постройте центр заданной окружности.
Решение:
а) Т.к. касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то нам необходимо построить прямоугольный треугольник, зная гипотенузу и то, что прямой угол лежит на окружности. Если около этого треугольника описать окружность, то ее радиус равен половине гипотенузы.
1. Проведем отрезок ОА.
2. Найдем его середину К: ОК=КА.
3. Из точки К построим окружность радиусом ОК.
4. Окружности с центрами О и К пересекаются в точке В.
5. Проведем прямую АВ.
Прямая АВ является касательной к окружности.
Доказательство:
Треугольник ОАВ - прямоугольный (гипотенуза равна диаметру) по построению, а т.к. ОВ - радиус и сторона АВ перпендикулярна стороне АВ, то АВ - касательная.
7. а) При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренную трапецию по двум основаниям и и диагонали.
б) При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренную трапецию по двум основаниям и боковой стороне.
Решение:
а)
1. На прямой m отложим отрезок AD, равный b.
2. От точки D на прямой m отложим отрезок DK, равный а.
3. Из точек А и К как центров проведем окружности радиуса d, отметим точку пересечения этих окружностей С.
2. От точки А на прямой m отложим отрезок АМ, равный а.
3. Из точек M и D как центров проведем окружности радиуса d, отметим точку пересечения этих окружностей B.
ABCD - равнобедренная трапеция.
Доказательство:
ВСKD - параллелограмм по построению, следовательно, ВС=DK и BC||DK.
Треугольники MBA и KCD равны по построению, следовательно AB=CD.
8. а) При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным проекциям катетов на гипотенузу.
б) При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным катету и его проекции на гипотенузу.
Решение:
а) Искомый треугольник - прямоугольный, т.к. известны проекции катетов a и b на гипотенузу, то гипотенуза равна a+b. Третья вершина треугольника лежит на описанной около этого треугольника окружности (R=(a+b)/2) и высоте, проведенной из точки пересечения проекций к гипотенузе.
1. На прямой m отложим отрезок АК, равный отрезку а.
2. От точки К на прямой m отложим отрезок КВ, равный отрезку b.
3. Найдем середину О отрезка АВ.
4. Проведем окружность с центром в точке О и радиусом АО.
4. Из точки К построим прямую, перпендикулярную прямой m/
5. Прямая пересекается с окружностью (центр - точка О) в точке С.
АСВ - искомый прямоугольный треугольник.
Доказательство:
Треугольник АСВ - прямоугольный, т.к. Точка С лежит на окружности, диаметром которой является гипотенуза треугольника. Также точка С лежит на высоте проведенной к гипотенузе, причем проекции равны отрезкам a и b по построению.
9. а) При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным гипотенузе и острому углу, синус которого равен 4/5.
б) При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным высоте, опущенной на гипотенузу и острому углу, синус которого равен 4/5.
Решение:
а) Синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, следовательно, если разбить гипотенузу на пять равных отрезков, то катет равен четырем из них. Найдем второй катет: пусть первый катет - 4х, гипотенуза - 5х, то по теореме Пифагора прилежащий катет равен 3х.
Построение сводится к построению треугольника по трем сторонам.
1. На прямой m отложим отрезок АС, равный а.
2. Проведем произвольный луч из точки А, отметим на нем пять равных отрезков: АА1, А1А2, А2А3, А3А4, А4А5. Соединим точки А5 и С, проведем параллельные прямые к прямой А5С через точки А3 и А4, они пересекут отрезок АС в точках С3 и С4.
3. Из точки А проведем окружность радиусом АС3, из точки С проведем окружность радиусом АС4.
4. Точка В - точка пересечения окружностей.
АВС - искомый прямоугольный треугольник.
Доказательство:
Построенный треугольник равен искомому по трем сторонам.
10. При помощи циркуля и линейки постройте отрезок х, такой что:
(№ 5.5.62 [7])Решение:
а) Возведем обе части равенства в квадрат:
x2=a2+b2-ab,
ab можно заменить выражением 0,5ab*cos 60° и получим:
ab можно заменить выражением 0,5ab*cos 60° и получим:
x2=a2+b2-ab= a2+b2-0.5ab*cos 60°- теорема косинусов.
Построение сводится к построению треугольника по двум сторонам а и b и углу между ними в 60°. Сторона х лежит против угла в 60°.
Построение сводится к построению треугольника по двум сторонам а и b и углу между ними в 60°. Сторона х лежит против угла в 60°.
1. На прямой m отложим отрезок АВ, равный отрезку а.
2. Из точек А и В как из центров построим окружности радиуса АВ. D - точка пересечения окружностей. Треугольник АВD - равносторонний, следовательно, угол DАB равен 60°.
3. На стороне AD отложим отрезок АС, равный отрезку b.
Сторона СВ=х.
Доказательство:
СВ искомый отрезок, т.к. по теореме косинусов квадрат стороны равен сумме квадратов двух других его сторон без половины разности этих сторон на косинус угла между ними.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Постройте при помощи циркуля и линейки отрезок, равный данному. Заданный отрезок выберите произвольно.
2. При помощи циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник по его стороне.
2. При помощи циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник по его стороне.
4. При помощи циркуля и линейки постройте точку пересечения медиан треугольника. Треугольник выберите произвольно.
5. При помощи циркуля и линейки постройте параллелограмм по двум сторонам и острому углу.
6. При помощи циркуля и линейки впишите в окружность правильный треугольник.
7. При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к боковой стороне треугольника.
8. При помощи циркуля и линейки построить отрезок х, если известно, что х=a*b:c. Отрезки a, b, c возьмите произвольно.
9. При помощи циркуля и линейки постройте трапецию по заданным четырем сторонам.
10. При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по радиусам его описанной и вписанной окружностей. Радиусы задайте произвольно.
5. При помощи циркуля и линейки постройте параллелограмм по двум сторонам и острому углу.
6. При помощи циркуля и линейки впишите в окружность правильный треугольник.
7. При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к боковой стороне треугольника.
8. При помощи циркуля и линейки построить отрезок х, если известно, что х=a*b:c. Отрезки a, b, c возьмите произвольно.
9. При помощи циркуля и линейки постройте трапецию по заданным четырем сторонам.
10. При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по радиусам его описанной и вписанной окружностей. Радиусы задайте произвольно.
