МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Рассматриваемые в задачах величины состоят из частей. В некоторых из них части представлены явно, в других надо суметь выделить, приняв подходящую величину за 1 часть и определив, из скольких таких частей состоят другие величины, о которых идет речь в задаче.
Виды задач на части:
1. Известно количество частей некоторых элементов и сумма этих элементов.
2. Известно количество частей некоторых элементов и разность этих элементов.
3. Известно количество частей некоторых элементов и значение одного элемента.
4. Нахождение части от числа и числа по его части.
Рассмотрим решение каждого вида задач на примерах.
1. Известно количество частей некоторых элементов и сумма этих элементов
Купили 2700 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, чернослив — 3 части и курага — 2 части массы сухофруктов. Сколько граммов яблок, чернослива и кураги в отдельности купили?
Решение:
1) 4+3+2=9(ч.) - всего
2) 2700 : 9 = 300 (г) - на одну часть
3) 300 * 4 = 1200 (г) - яблок
4) 300 * 3 = 900 (г) - чернослива
5) 300 * 2 = 600 (г) - кураги
Ответ: 1200г, 900г, 600г.
2. Известно количество частей некоторых элементов и разность этих элементов
Тетрадей в клетку купили на 60 больше, чем тетрадей в линейку. Тетрадей в клетку было в 3 раза больше, чем тетрадей в линейку. Сколько купили тетрадей?
Решение:
Пусть тетради в линейку составляют одну часть, тогда тетради в клетку составляют 3 части.
1) 3-2=1 (ч.) - это 60 тетрадей
2) 60 : 2 = 30 (т.) - на одну часть
2) 3 + 1 = 4 (ч.) - всего
3) 30 * 4 = 120 (т.) - купили
Ответ: 120 тетрадей
3. Известно количество частей некоторых элементов и значение одного элемента
Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей чернослива и 3 части кураги. Оказалось, что чернослива и кураги вместе взяли 2 кг 400 г. Определите массу взятых яблок; массу всех фруктов.
Решение:
1) 5 + 3 = 8 (ч.) - чернослива и кураги
2) 2400 : 8 = 300 (г) - на одну часть
3) 300 * 6=1800 (г) - яблок
4) 1800 + 2400 = 4200 (г) - фруктов
Ответ: 1 кг 800 г; 4 кг 200 г.
4. Нахождение части от числа и числа по его части
1) Для того чтобы найти дробь от определенного числа, нужно это число умножить на данную дробь.
2) Чтобы найти все число по заданному значению его дроби, необходимо данное значение поделить на дробь.
2) Чтобы найти все число по заданному значению его дроби, необходимо данное значение поделить на дробь.
Найти 7/12 от числа 144.
Решение:
144 * 7/12 = 84 - это число составляет 7/12 от числа 144
Ответ: 84.
Найти число, если 3/5 этого числа равны 45.
Решение:
45 : 3/5=45 * 5/3 = 75 - все число
Ответ: 75.
1. а) Точка С делит отрезок АВ, равный 64 см, на части в отношении 3 : 5. Найдите длину каждой части.
б) Точка С делит отрезок АВ, равный 81 см, на части в отношении 4 : 5. Найдите длину каждой части.
2. а) Сыну 16 лет. Его возраст относится к возрасту отца как 4:11. Сколько лет отцу?
б) Брату 12 лет. Его возраст относится к возрасту сестры как 3:5. Сколько лет сестре?
3. а) Ширина прямоугольника составляет 5/16 его периметра. Чему равен периметр прямоугольника, если его ширина равна 15 см?
б) Длина прямоугольника составляет 3/10 его периметра. Чему равен периметр прямоугольника, если его длина равна 21 см?
4. а) Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найти углы треугольника.
б) Стороны треугольника относятся как 3:4:5, его периметр равен 132 см. Найти стороны треугольника.
Решение:
а) Сумма углов треугольника равна 180°
2) 180:9=20° - на одну часть
3) 2*20=40° -первый угол
4) 3*20=60° - второй угол
5) 4*20=80° - третий угол
Ответ: 40°, 60°, 80°
5. а) Латунь представляет собой сплав меди и цинка, массы которых пропорциональны соответственно числам 7 и 4. Сколько меди и цинка в 286 г латуни?
б) Для получения крахмала берут рис и ячмень: 5 частей ячменя и 2 части риса. Сколько килограммов риса и сколько килограммов ячменя надо взять, чтобы получить 42 кг крахмала?
Решение:
а) 1) 7+4=11 (ч.) - всего
2) 286:11=26 (г) - на одну часть
3) 7*26=182(г) - меди
4) 4*26=104 (г) - цинка
Ответ: 182 г, 104 г
6. а) В трех городах 310 000 жителей. Во втором городе жителей вдвое больше, чем в первом, а в третьем — на 20 000 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей в каждом городе?
б) В первом доме жителей в 2,5 раза больше, чем во втором, а во втором — на 25 человек больше, чем в третьем. Всего в первом и третьем доме 395 жителей. Сколько жителей в каждом доме?
Решение:
а) Пусть х - количество жителей в первом городе, тогда во втором - 2х, в третьем - 2х-20000. В трех городах 310000 жителей.
Составим и решим уравнение:
х + 2х + 2х - 20000 = 310000
5х=330000
х=66000 (ж.) - в первом городе
1) 66000*2=132000 (ж.) - во втором городе
2) 132000-20000=112000 (ж.) - в третьем городе
Ответ: 66000; 132000; 112000 жителей
7. а) Путешественник в первый день прошел 25 % всего пути, во второй день 3/8 всего пути. Какой путь прошел путешественник во второй день, если в первый он прошел 18 км?
б) Из магазина 8 % всего молока отправили в детский сад и 11/25 всего молока — в школу. Сколько молока отправили в школу, если в детский сад отправили 16 л?
Решение:УПРАЖНЕНИЯ
1. а) Точка С делит отрезок АВ, равный 64 см, на части в отношении 3 : 5. Найдите длину каждой части.
б) Точка С делит отрезок АВ, равный 81 см, на части в отношении 4 : 5. Найдите длину каждой части.
Решение:
а) 1) 3+5=8 (ч.) - всего
2) 64:8=8 (см) - на одну часть
3) 3*8=24 (см) - отрезок АС
4) 5*8=40 (см) - отрезок СВ
Ответ: 24 см, 40 см
а) 1) 3+5=8 (ч.) - всего
2) 64:8=8 (см) - на одну часть
3) 3*8=24 (см) - отрезок АС
4) 5*8=40 (см) - отрезок СВ
Ответ: 24 см, 40 см
2. а) Сыну 16 лет. Его возраст относится к возрасту отца как 4:11. Сколько лет отцу?
б) Брату 12 лет. Его возраст относится к возрасту сестры как 3:5. Сколько лет сестре?
Решение:
а) 1) 16:4=4 (г.) - на одну часть
2) 4*11=44 (г.) - отцу
Ответ: 44 года
а) 1) 16:4=4 (г.) - на одну часть
2) 4*11=44 (г.) - отцу
Ответ: 44 года
3. а) Ширина прямоугольника составляет 5/16 его периметра. Чему равен периметр прямоугольника, если его ширина равна 15 см?
б) Длина прямоугольника составляет 3/10 его периметра. Чему равен периметр прямоугольника, если его длина равна 21 см?
Решение:
а) 1) 15:5*16=48 (см) - периметр
Ответ: 48 см
а) 1) 15:5*16=48 (см) - периметр
Ответ: 48 см
4. а) Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найти углы треугольника.
б) Стороны треугольника относятся как 3:4:5, его периметр равен 132 см. Найти стороны треугольника.
Решение:
а) Сумма углов треугольника равна 180°
2) 180:9=20° - на одну часть
3) 2*20=40° -первый угол
4) 3*20=60° - второй угол
5) 4*20=80° - третий угол
Ответ: 40°, 60°, 80°
5. а) Латунь представляет собой сплав меди и цинка, массы которых пропорциональны соответственно числам 7 и 4. Сколько меди и цинка в 286 г латуни?
б) Для получения крахмала берут рис и ячмень: 5 частей ячменя и 2 части риса. Сколько килограммов риса и сколько килограммов ячменя надо взять, чтобы получить 42 кг крахмала?
Решение:
а) 1) 7+4=11 (ч.) - всего
2) 286:11=26 (г) - на одну часть
3) 7*26=182(г) - меди
4) 4*26=104 (г) - цинка
Ответ: 182 г, 104 г
6. а) В трех городах 310 000 жителей. Во втором городе жителей вдвое больше, чем в первом, а в третьем — на 20 000 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей в каждом городе?
б) В первом доме жителей в 2,5 раза больше, чем во втором, а во втором — на 25 человек больше, чем в третьем. Всего в первом и третьем доме 395 жителей. Сколько жителей в каждом доме?
а) Пусть х - количество жителей в первом городе, тогда во втором - 2х, в третьем - 2х-20000. В трех городах 310000 жителей.
Составим и решим уравнение:
х + 2х + 2х - 20000 = 310000
5х=330000
х=66000 (ж.) - в первом городе
1) 66000*2=132000 (ж.) - во втором городе
2) 132000-20000=112000 (ж.) - в третьем городе
Ответ: 66000; 132000; 112000 жителей
7. а) Путешественник в первый день прошел 25 % всего пути, во второй день 3/8 всего пути. Какой путь прошел путешественник во второй день, если в первый он прошел 18 км?
б) Из магазина 8 % всего молока отправили в детский сад и 11/25 всего молока — в школу. Сколько молока отправили в школу, если в детский сад отправили 16 л?
а) 1) 18*100:25=72 (км) - весь путь
2) 72:8*3=27 (км) - прошел во второй день
Ответ: 72 км
8. а) Несколько детей разделили поровну между собой 12 конфет. Если бы число детей было на 2 меньше, то каждый получил бы дополнительно 1 конфету. Сколько было детей?
б)120 карандашей раскладывают поровну по пачкам. Если в каждую пачку укладывать на 2 карандаша больше, то пачек станет на 3 меньше. Сколько карандашей должно быть в одной пачке?
Решение:
а) Пусть детей - х. Тогда 12: х - количество конфет каждому ребенку.
После уменьшения количества детей на 2, их стало х-2, тогда 12: (х-2) - количество конфет каждому ребенку. Во втором случае каждый получит на одну конфету больше.
Составим и решим уравнение:
12:х=12:(х-2) -1
После приведения к общему знаменателю:
12х-24-12х+х2-2х=0
х2-2х-24=0
D=4+96=100
x1=6
x2=-4 - не подходит по условию задачи
Ответ: 6 детей
а) Пусть детей - х. Тогда 12: х - количество конфет каждому ребенку.
После уменьшения количества детей на 2, их стало х-2, тогда 12: (х-2) - количество конфет каждому ребенку. Во втором случае каждый получит на одну конфету больше.
Составим и решим уравнение:
12:х=12:(х-2) -1
После приведения к общему знаменателю:
12х-24-12х+х2-2х=0
х2-2х-24=0
D=4+96=100
x1=6
x2=-4 - не подходит по условию задачи
Ответ: 6 детей
9. а) В прямоугольнике длина одной стороны в 4 раза меньше длины другой, площадь прямоугольника равна 36 см2. Найдите площадь квадрата, построенного на большей стороне прямоугольника.
б) В прямоугольнике длина одной стороны в 4 раза больше длины другой, площадь прямоугольника равна 60 см2. Найдите площадь квадрата, построенного на меньшей стороне прямоугольника.
Решение:
а) Пусть х - меньшая сторона, тогда большая сторона равна 4х. Площадь прямоугольника равна 36.
Составим и решим уравнение:
4х*х=36
4х2=36
х2=9
х=3 (см) или х=-3 - не подходит по условию задачи
1) 3*4=12 (см) - большая сторона
2) 12*12=144 (см2) - площадь квадрата, построенного на большей стороне.
Ответ: 144 см2
а) Пусть х - меньшая сторона, тогда большая сторона равна 4х. Площадь прямоугольника равна 36.
Составим и решим уравнение:
4х*х=36
4х2=36
х2=9
х=3 (см) или х=-3 - не подходит по условию задачи
1) 3*4=12 (см) - большая сторона
2) 12*12=144 (см2) - площадь квадрата, построенного на большей стороне.
Ответ: 144 см2
10. а) Книг на первой полке на 16 больше, чем на второй, а отношение количеств этих книг равно 7 : 3. Сколько книг на каждой полке?
б) Книг на первой полке на 30 меньше, чем на второй, а отношение количеств этих книг равно 7:9. Сколько книг на каждой полке?
Решение:
а) 1) 7-3=4 (ч.) - разница
2) 16:4=4 (кн.) - на одну часть
3) 7*4=28 (кн.) - на первой полке
4) 3*4=12 (кн.) - на второй полке
Ответ: 28 книг; 12 книг
а) 1) 7-3=4 (ч.) - разница
2) 16:4=4 (кн.) - на одну часть
3) 7*4=28 (кн.) - на первой полке
4) 3*4=12 (кн.) - на второй полке
Ответ: 28 книг; 12 книг
11. а) Площади трех участков земли относятся как 4:3:5. Средняя урожайность всех участков одинакова и составляет 28 ц с гектара. Известно, что с третьего участка собрано на 84 ц зерна больше, чем с первого. Определите площади участков.
б) Объемы трех сосудов относятся как 7:2:3. Сосуды заполнены жидкостью, плотность которой 1,25 кг/м3. Известно, что масса жидкости в первом сосуде на 0,75 кг больше, чем масса жидкости, содержащейся во втором и третьем сосудах вместе. Определите объемы сосудов.
а) 1) 5-4=1 (ч.) - разница между третьим и первым участком
2) 84:1=84 (ц) - на одну часть
3) 84:28=3 (га) - на одну часть
4) 4*2=3=12 (га) - первый участок
5) 3*3=9 (га) - второй участок
6) 5*3=15 (га) - третий участок
Ответ: 12 га, 9 га, 15 га
12. а) Имеется смесь из двух веществ массой 600 г. После того как выделили 3/4 первого вещества и 60 % второго, то второго вещества оказалось в смеси на 6 г больше, чем первого. Найдите, сколько осталось первого вещества.
б) Имеется смесь из двух веществ массой 900 г. После того как выделили 5/6 первого вещества и 70 % второго, то второго вещества оказалось в смеси на 18 г больше, чем первого. Найдите, сколько осталось первого вещества. (№ 6.4.54 [7])
Решение:
а) Пусть х - количество грамм первого вещества, у - количество грамм второго вещества. Вместе они 600 г.
После выделения 3/4 первого вещества осталось 1-3/4=1/4, т.е. 1/4х.
После выделения 60% второго вещества осталось 40%, т.е. 0,4у. Известно, что второго вещества на 6 г больше.
Составим и решим систему уравнений:
1) 240:4*1=60 (г) - осталось первого вещества
Ответ: 60 г.
а) Пусть х - количество грамм первого вещества, у - количество грамм второго вещества. Вместе они 600 г.
После выделения 3/4 первого вещества осталось 1-3/4=1/4, т.е. 1/4х.
После выделения 60% второго вещества осталось 40%, т.е. 0,4у. Известно, что второго вещества на 6 г больше.
Составим и решим систему уравнений:
Ответ: 60 г.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. В сиропе отношение сахара и воды равно 3:22 соответственно. Сколько надо взять сахара, чтобы получить 950 г сиропа?
2. Мастер изготовил сплав золота и серебра в отношении 5 : 9 соответственно, причем золота он взял 25 г. Найдите массу сплава.
3. Периметр параллелограмма равен 48 см, длина одной из его сторон больше длины другой в 3 раза. Найдите длины сторон параллелограмма.
4. Массы меди и никеля в сплаве пропорциональны числам
6 и 2. Сколько меди и никеля в 1,12 т сплава?
5.В первом питомнике было в 5 раз больше яблонь, чем во втором. После того как во второй питомник пересадили с первого 50 яблонь и еще посадили 60 яблонь, в обоих питомниках стало яблонь поровну. Сколько яблонь было в каждом питомнике первоначально?
6. Количество грибов в первой корзине в три раза меньше, чем в другой. Если из первой корзины взять 7 грибов, а во вторую положить 9, то количество грибов в первой корзине будет в 5 раз меньше, чем во второй. Сколько грибов к было в каждой корзине первоначально?
8. В парке высадили 55 деревьев. В каждом ряду их одинаковое количество, а рядов на 6 меньше, чем количество деревьев в каждом ряду. Сколько деревьев в каждом ряду и сколько всего рядов?
10. Представьте число 320 в виде суммы четырех
слагаемых так, чтобы первое слагаемое относилось ко второму как 3 : 4, второе к
третьему — как 4 : 6, а третье к четвертому — как 6:7. Найдите все слагаемые.
