11. Неравенства

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ


 Неравенством с одной переменной называется запись, в которой два выражения, содержащие одну и ту же переменную связаны знаками неравенств: <,  >, ≥, ≤, ≠.

 Решением неравенства называется такое числовое значение переменной, при подстановке которого в данное неравенство оно становится верным числовым неравенством.

Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

Свойства неравенств

1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному.

2. Если к обеим частям неравенства с одной переменной прибавить или вычесть одно и то же число, то получится неравенство, равносильное данному.

3. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.

4. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.


Линейное неравенство


Линейным неравенством называется неравенство вида ax > b (либо ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b).


Если a>0, то неравенство ax>0  равносильно неравенству x>b:a, значит, множество решений неравенства есть промежуток .

Если a<0, то неравенство ax>bравносильно неравенству x<b:a, значит, множество решений неравенства есть промежуток .

Если a=0, то неравенство ax>b  принимает вид 0x>b, т.е. оно не имеет решений, если b≥0, и верно при любых х, если b<0.


Квадратное неравенство

Квадратным неравенством называется неравенство вида ax2+bx+c>0  (либо ax2+bx+c<0;  ax2+bx+c≥0; ax2+bx+c≤0), где а≠0.

Рассмотрим неравенство ax2+bx+c>0. В зависимости от знака дискриминанта D=b2-4ac  могут представиться три случая:
1. D<0, график не пересекает ось ОХ и если a>0  лежит выше оси, то решением является (-∞; +∞), если a<0, то  график ниже оси ОХ и решений нет.

2. D>0,  график пересекает ось ОХ в двух точках х1 и х2 (х1<х2), служащих корнями уравнения ax2+bx+c=0. Если a>0, то ветви графика направлены вверх и решением является: (-∞; x1)U(x2;+∞), если a<0, то ветви направлены вниз и решением является: (х1; х2).

3. D=0, график касается оси ОХ в точке х1, которая является корнем уравнения ax2+bx+c=0. Если a>0, то ветви графика направлены вверх и решением является: (-∞; x1)U(x1;+∞), если a<0, то ветви направлены вниз и решений нет.

Рациональные неравенства


 Пусть А и В многочлены от одной и той же переменной. Неравенства вида  
) называют рациональными.

Неравенства вида А:B>0 и A*B>0 (А:B<0 и A*B<0) равносильны. 
Замечание: нестрогие неравенства могут быть и неравносильными.

При решении рациональных неравенств применяют метод интервалов. 
Рассмотрим неравенство (x–x1)(x–x2)...(x–xn)>0   
Найдем нули функции  f(x) = (x–x1)(x–x2)...(x–xn) -  числа x1, x2... xn.
 В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль её знак изменяется. 
Отметим нули функции на числовой прямой. Узнаем знаки на каждом промежутке. В ответе укажем только те промежутки, где знак положителен.

Неравенства с модулем

Неравенства с модулем вида   |f(x)|≤g(x)  (или |f(x)|<g(x)) решаем с помощью системы неравенств:

Неравенства с модулем вида |f(x)|≥g(x)    (или |f(x)|>g(x))  решаем с помощью системы неравенств:


УПРАЖНЕНИЯ

1. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений неравенств:
а) |x|≤7;    б) |x|>7.
Решение:
а) Из неравенства |x|≤7 следует, что -7≤ х ≤7  и множество решений изображено на рисунке а).
Ответ: а

2. а) Являются ли решениями неравенства 3 - 2(m+6)>-7 + 3(m-4) числа 10; 27; 1,5; -3.
    б) Являются ли решениями неравенства n>-6(3-n)+5(2+n) числа -3; 0,9; 0,5; 1?
Решение:
а) Найдем решение для неравенства 3 - 2(m+6)>-7 + 3(m-4), ля этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 
3-2m-12>-7+3m-12;
-5m>-10;
m<2,  следовательно решениями неравенства будут все числа, меньшие 2: 1,5 и -3.
Ответ: 1,5; -3.

3. Является ли верным утверждение:
Решение:
а) Умножим обе части неравенства на а, т.к. а>2, то оно положительное, получим: 6<3a; a>6:2; a>2, следовательно утверждение верно.
Ответ: верно

4. При каких значениях х верно неравенство:
а) (2x-5)2≤0;   б) (4x-2)2>0?
Решение:
а) Рассмотрим неравенство (2x-5)2≤0, квадрат числа не может быть отрицательным числом, следовательно рассмотрим случай, когда (2x-5)2=0; 2х-5=0; х=2,5.
 Ответ: 2,5

5. Найдите наименьшее целое решение неравенства:
а) 3х+15<5x+2;   б) 3x+4<6x+7.
Решение:
а) 3х+15<5x+2;
3x-5x<2-15;
-2x<-13;
x>(-13):(-2);
x>6,5.
х€(6,5;+∞)
Наименьшее целое число на этом промежутке -  7.
Ответ: 7

6. На координатной прямой изобразите множество решений неравенства:
а) |x-2|≥ 4;    б) |x-2|<6.
Решение:
а) |x-2|≥ 4;

7. Решите неравенство:
а) 5(2-х)-3(x+3)<8;  б) 2(x+1) -2(x+3)>-3.
Решение:
а) 5(2-х)-3(x+3)<8;
10-5x-3x-9<8;
-8x<7;
x>-7/8.
Ответ: (-7/8; +∞)

8. Решите неравенство:
Решение:
а) Приведем неравенство к общему знаменателю -  10.

Умножим обе части неравенства на 10:
30-4x+6+15x+10≥10x;
x≥-46;
Ответ: [-46;+∞)

9. Решите неравенство:
Решение:
а) Рассмотрим функцию f(x)=(2x-3)/(x+3) и найдем значения при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль:
2x-3=0  и х+3=0
х=1,5   и х=-3.
С помощью метода интервалов решим неравенство:
Решением являются промежутки на которых функция положительна.

Ответ: (-∞; -3)U(4; +∞)

10. Решите неравенство:
Решение:
а) Заменим произведением: (2x-4)(3x-9) ≤ 0.
2х-4=0 и 3х-9=0
х=2         х=3
С помощью метода интервалов решим неравенство:

Решением являются промежутки на которых функция неотрицательна.
Ответ: (-∞; -2]U(3; +∞)

11. Решите неравенство:
а) 9x2-12x+4>0;   б) 5x2+2x-16≤0.
Решение:
а) 9x2-12x+4>0 - квадратное неравенство.
9x2-12x+4=0,
D=144-144=0.
x=12:18=2/3.
Ответ: (-∞; 2/3)U(2/3; +∞)

12. Решите неравенство:
Решение:
а) 
Заменим произведением: 5х(1-25х)>0.
1-25х=0 или 5х=0
х=1/25   х=0

Ответ: (0; 1/25)


13. Решите неравенство:
Решение:
а) Заменим произведением 


14. Решите неравенство:
Решение:
а) Заменим произведением  (x2-16)(х-4)>0.
x2-16=0        x-4=0
x=4, x=-4,     x=4

Ответ: (-4; 4)U(4; +∞)

15. Решите неравенство:
Решение:

Ответ: (-16,5; -3,5)

16. Решите неравенство:
a) 4<|2x-1|<10;   б) 3<|4x+1|<6.
Решение:
а) 

Ответ: (-4,5;-1,5)U(2,5;5,5).

17. Решите неравенство (№ 3.5.33 [7]):
a) x2-2x+1≤|x-1|;   б) x2+2x+1≥|x+1|.
Решение:
а) Рассмотрим две системы неравенств:
x2-3x+2=0,                         x2-x=0,

x1=2, x2=1                         x(x-1)=0,

                                         x=0, х=1.

Рассмотрим решение первой системы неравенств:



 ответ: [1;2] 



Рассмотрим решение второй системы неравенств:



ответ: [0;1)

Объединяя оба ответа получим решение неравенства.
Ответ: [0;2]

18. Найдите наименьшее целое число, которое является решением неравенства:
Решение:
 Разделим обе части не равенства на 
Т.к. это выражение меньше 0, то при делении в неравенстве изменим знак на противоположный, получим:
x2+6x-7<0,  
Найдем нули функции: х1=-7, х2=-1.
Решением неравенства является промежуток (-7; -1). Наименьшим целым числом, принадлежащим этому промежутку является -6.
Ответ: -6.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ


 1. Является ли решением неравенства 2х>3(x-1) число 0; 5?

 2. Изобразите на координатной прямой промежуток:
а) [3; 8);    б) (-5; 3).

 3. Решите неравенство:
а) 13+х≥ 8;    б) 14-х<3.

 4. Решите неравенство:
а)1≤2-х<5;    б) 2≤х-4≤10.

 5. Решите неравенство:
а) 3х-5(х+4)>4+x;     б) 5x-4(2x+3)<3x+8.

 6. Решите неравенство:

7. Решите неравенство:
  x2(х-2)(x+1)>0.

8. Решите неравенство:
а) |x-2|<6;    б) |x-6|>4.

9. Решите неравенство:

10. Решите неравенство:


Проверь себя

Подписаться на: Сообщения (Atom)