Математика по полочкам: 12. Уравнения, содержащие модуль. Рациональные уравнения

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Уравнения, содержащие модуль

Если в уравнении некоторые выражения, содержащие неизвестное, стоят по знаком модуля, то решение исходного уравнения ищется отдельно на каждом из промежутков знакопостоянства этих выражений.

Пример 1
Решить уравнение |3x-6|=x+2.
Решение:
Рассмотрим первый случай: 3х-6≥0, тогда 3х-6=х+2, 2х=8, х=4.
Рассмотрим второй случай: 3х-6<0, тогда 3х-6=-(х+2), 4х=4, х=1.
Ответ: 1; 4.
Пример 2
Решить уравнение |x-2| - 3|x-1| + 4|x-3| = 5.

Отметим на координатной прямой точки:х-2=0 х-1=0 х-3=0
х=2 х=1 х=3

Рассмотрим решения уравнения на промежутках (-∞; 1]; (1; 2]; (2; 3] и (3; +∞).

При х≤1: -(х-2) + 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2+3х-3-4х+12=5, -2х=-6, х=3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При 1<х≤2: -(х-2) - 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2-3х+3-4х+12=5, -8х=-12, х=1,5. Ответ принадлежит промежутку.
При 2<х≤3: х-2 - 3(х-1) -4(х-3)=5, х-2-3х+3-4х+12=5, -6х=-8, х=4/3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При х>3: х-2 - 3(х-1) +4(х-3)=5, х-2-3х+3+4х-12=5, 2х=16, х=8. Ответ принадлежит промежутку.
Ответ: 1,5; 8.

Рациональные уравнения

Рациональным уравнением называется уравнение вида

где P(x), Q(x) - многочлены.

Решение уравнения сводится к решению системы:

Пример

Решить уравнение

Решение:

x²-4=0, х-2≠0,

x²=4, х≠ 2.

х=-2 или х=2.

Число 2 не может быть корнем.

Ответ: -2.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Из данных уравнений выберите те, которые не имеют корней:

а) |x|+4=1; |x-5|=2; |x+3|=-6. б) |1+x|=3; |1-x|=-4; 8+|x|=2.

Решение:
а) |x|+4=1 не имеет корней, т.к. |x|=-3 и модуль не может быть отрицательным числом; |x-5|=2 имеет корни; |x+3|=-6 не имеет корней, т.к. модуль не может быть отрицательным числом.
Ответ: |x|+4=1; |x+3|=-6.

2. Решите уравнение:

а) |5x|=15; б) |2x|=16.

Решение:
а) |5x|=15;
|5||x|=15;
5|x|=15;
|x|=3;
x=3 или x=-3.

3. Решите уравнение:

а) |5x+1|=5; б) |2x-1|=10.

Решение:
а) |5x+1|=5;

Ответ: -1,2; 0,8.

4. Решите уравнение:

а) |5x²+3x-1|=-x²-36; б) |3x²-5x-4|=-4x²-23.

Решение:
а) |5x²+3x-1|=-x²-36. Рассмотрим выражение -x²-36, оно принимает отрицательные значения при любых значениях х, следовательно уравнение |5x²+3x-1|=-x²-36 не имеет корней.
Ответ: нет корней

5. Решите уравнение:

Решение:

Ответ: -1/3.

6. Решите уравнение:

Решение:

14х²-5x-1=0,

D=25+56=81,

x₁=9/14; x₂=-1/7.

x≠2.

Ответ: -1/7; 9/14.

7. Решите уравнение:

Решение:

8. Решите уравнение:

Решение:

x²+3x-4=0,

D=9+16=25,

x₁=1, x₂=-4.

х ≠3.

Ответ: -4; 1.

9. Найдите, при каком значении переменной значение выражения

равно: а) -6; б) 6.

Решение:

х²+7x+10=0,

D=49-40=9,

x₁=-2; x₂=-5.

x≠-2.

Ответ: -5.

10. Решите уравнение:

Решение:
а) Разложим знаменатели на множители:
х²-36=(x-6)(x+6).
108-24x+х²=(x-6)(x-18).
2x-36=2(x-18).

11. Решите уравнение:

а) х²-6|x|=0; б) х²+4|x|=0.

Решение:

а) х²-6|x|=0;
х≥0: х²-6x=0; х(х-6)=0, x1=0, x2=6.

x<0: х²+6x=0; х(х+6)=0, x1=0, x2=-6.

Ответ: -6; 0; 6.

12.Решите уравнение:

а) х²-3|x|+2=0; б) х²-2|x|+1=0.

Решение:

а) х²-3|x|+2=0.
х≥0: х²-3x+2=0; D=9-8=1, x1=2, x2=1.
x<0: х²+3x+2=0; D=9-8=1, x1=-2, x2=-1.
Ответ: -2; -1; 1; 2.

13. Решите уравнение:

а) |x-2|+|x-4|=5; б) |x-1|-|x-4|=6.

Решение:
а) |x-2|+|x-4|=5.
x≤2: -(x-2)-(x-4)=5, -x+2-x+4=5, x=0,5.
2<x≤4: x+2-(x-4)=5, x-2-x+4=5, 2=5 - нет решений.
x>4: x-2+x-4=5, 2x=11, x=5,5.

Ответ: 0,5; 5,5.

14.Решите уравнение:

а) |3- |4- |x|||=5; б) 8-|2 -|x|||=3.

Решение:
а) |3- |4- |x|||=5;
3- |4- |x||=5 или 3- |4- |x||=-5;
|4-|x||=-2 - нет решений |4-|x||=8
4-|x|=8 или 4-|x|=-8
|x|=-4 - нет решений |x|=12
х=12 или х=-12.
Ответ: -12; 12.

15. Решите уравнение: