24. Треугольники

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. 
Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.

Свойства треугольников

1. Сумма углов треугольника 180°.
2. Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны: a+b>c, b+c>a, a+c>b.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон: LM - средняя линия треугольника.


Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны: LM || BC, BC=2LM.

Виды треугольников


Виды треугольников (по углам):

· Остроугольный (все углы острые),
· Тупоугольный (один из углов тупой),
· Прямоугольный (один из углов прямой).





Виды треугольников (по сторонам):

· Разносторонний (стороны не равны между собой),
· Равнобедренный (две стороны равны),
· Равносторонний (три стороны равны между собой).



Биссектрисы, медианы, высоты треугольников


Биссектриса


Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.





Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.


Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: b : c =  x : y.



Высота

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

 Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.


Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1 начиная от вершины треугольника: СO=2OL, BO=2OM.
Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади: S ABM = S BCM.

Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.


Равнобедренный треугольник


Две равные стороны называются боковыми сторонами, третья – основанием: KL и LM - боковые стороны (KL=LM), КМ - основание.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: знак углаК=знак углаМ.

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой и высотой.

Прямоугольный треугольник


Стороны треугольника, образующие прямой угол, называются катетами, сторона, лежащая против угла в 90°, называется гипотенузой: АС, ВС - катеты, АВ - гипотенуза.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
с2=a2+b2.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α=a:c.

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α=b:c.

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему катету: tg α=a:b=sin α : cos α.

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему катету: ctg α= cos α : sin α.

Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности.

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности: R=c:2.
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности: r=(a+b-c):2.

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника равен произведению проекций высоты на гипотенузу: h2=x*y.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:



Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos А.


Площадь треугольника



 h – высота, проведенная к стороне а.


 a, b – стороны треугольника, γ – угол между ними.

 р – полупериметр, a, b, c – стороны треугольника.

S=pr, р – полупериметр, r – радиус вписанной окружности

S=abc : (4R), R - радиус описанной окружности

В прямоугольном треугольнике 
S=0,5ab, где a, b – катеты треугольника

В равностороннем треугольнике


УПРАЖНЕНИЯ

1. а) В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10 см, один из углов равен 45. Найдите второй катет.
    б) В прямоугольном треугольнике катеты равны. Найдите все углы треугольника.
Решение:
а) В прямоугольном треугольнике 90° и 45°, следовательно, третий угол 180°-90°-45°=45°. Треугольник равнобедренный, т.к. два угла равны, тогда и катеты равны, т.е. второй катет равен 10 см.
Ответ: 10 см

2. Найдите величину катета АС:
Решение:
а) Треугольник АВС прямоугольный и А=180°-90°-60°=30°. 
    ВС=АВ:2=10:2=5 см (катет лежит против угла в 30°).
    АС2=АВ2-АС2=100-25=75, АС=
Ответ: 

3. Найдите площадь равнобедренного треугольника со сторонами:
а) 6 см, 6 см, 8 см;     б) 10 см, 10 см, 12 см.
Решение:
а) по формуле Герона 
Ответ: 
4. а) В треугольнике АВС сторона АВ равна 10 см, расстояние от точки С до прямой АВ равно 6 см, сторона ВС равна 14 см. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС.
    б) В треугольнике АВС расстояние от точки А до прямой ВС равно 5 см, расстояние от точки С до прямой АВ равно 7 см. Найдите сторону ВС, если известно, что сторона АВ равна 12 см.
Решение:
а)
Дано: АВС - треугольник;
d(C, AB)=6 см;
АВ=10 см; ВС=14 см
Найти: d(A, BC)

 Решение:
1) Найдем площадь треугольника АВС:
S=CК*АВ:2=10*6:2=30 см2
2) Зная площадь треугольника АВС и сторону ВС, найдем высоту АМ, проведенную к этой стороне:
S=BC*AM:2; AM=30:14*2=30/7 = 4 2/7 см
Ответ: 4 2/7 см
5. а) В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе равна 4 см. Найдите площадь треугольника.
    б) В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см. Найдите площадь треугольника.
Решение:
а)
Дано: АВС - равнобедренный прямоугольный треугольник;
    ВН=4 см
  Найти: S - ?

 Решение:
1) Т.к. треугольник АВС - равнобедренный, то высота ВН, проведенная к основанию является и медианой: АН=НС.
2) Квадрат высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе равен произведению ее проекций на гипотенузу: ВН2=АН*НС;  16=АН2
АН=4 см
3) АС=2АН=8 см
4) S=ВН*АС:2=4*8:2=16 см2
Ответ: 16 см2
6. а) Периметр треугольника АВС равен 30 см. знак углаА=знак углаС и АВ больше АС на 3 см. Найдите стороны треугольника.
 б) Периметр треугольника АВС равен 36 см. знак углаА=знак углаС и АВ : АС как 3:2. Найдите стороны треугольника.
Решение:
а) 
Дано:
АВС - треугольник;
Р=30 см;
знак углаА=знак углаС;
АВ=АС+3 см.
Найти: АВ, ВС, АС

 Решение:
1) Т.к. знак углаА=знак углаС, то треугольник АВС - равнобедренный и АВ=ВС.
2) Пусть х - основание треугольника АВС, тогда боковая сторона равна (х+3).
Р=АВ+ВС+АС=х+х+3+х+3; 3х+6=30, 3х=24, х=8 см - сторона АС.
АВ=ВС=8 + 3=11 см
Ответ: 8 см, 11 см, 11 см


7. а) В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6 см, а сумма второго катета и гипотенузы равна 18 см. Найдите площадь треугольника.   
    б) В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 1,5 см, а разность гипотенузы и второго катета   равна 0,5 см. Найдите площадь треугольника.
Решение:
а) 1) Пусть катет равен х см, тогда гипотенуза равна (18 -х) см.
По теореме Пифагора:
62+х2=(18-х)2
36+х2=324-36х+х2
36х=288
х=8 (см) - катет прямоугольного треугольника
2) S=6*8:2=24 см2
Ответ: 24 см2


8. а) В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки, равные 5 см и 4 см, считая от вершины треугольника. Найдите площадь треугольника.
    б) В треугольнике АВС АК - высота, ВК=СК=5 см. Найдите площадь треугольника, если АВ=12 см.
Решение:
а)
Дано: АВС - равнобедренный треугольник;
          АК - высота к боковой стороне;
         ВК= 5 см; КС= 4 см
Найти: S - ?
Решение:
1) Т.к. треугольник АВС - равнобедренный, то АВ=ВС=ВК+КС=5+4 = 9 см.
2) Треугольник АВК - прямоугольный, Зная гипотенузу АВ и катет ВК,  найдем катет АК:
АК2=АВ2-ВК2=81-25=56 

9. а) В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 см и 9 см. Найдите биссектрису треугольника, проведенную к большему катету.
    б) В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6 см, а гипотенуза равна 10 см. Найдите биссектрису треугольника, проведенную к меньшему катету.
Решение:
а) 
Дано: АВС - прямоугольный треугольник;
АВ=12 см; АС=9 см;
СК - биссектриса
Найти: СК -?

 Решение:
1) По теореме Пифагора найдем гипотенузу: ВС2=АВ2+АС2=144+81=225, ВС=15 см.
2) Т.к. СК - биссектриса, то АС:ВС=АК:КВ.
Пусть КВ=х, тогда АК=12-х.
9:15=(12-х):х,
9х=15(12-х),
8х=60,
х=7,5 см - ВК.
3) АК=12-7,5=4,5 см
4) Треугольник АКС - прямоугольный, по теореме Пифагора найдем КС:
КС2=АК2+АС2=101,25


10. а) В прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны 25 см и 4 см. Найдите площадь треугольника.
      б) В прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны 9 см и 16 см. Найдите площадь треугольника.
Решение:
а)
Дано:
АВС - прямоугольный треугольник;
АК - высота;
ВК=25 см; КС=4 см
Найти: S - ?

 Решение:
1) Квадрат высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе равен произведению ее проекций на гипотенузу: АК2=ВК*КС;  АК2=25*4=100, АК=10 см
2) ВС=ВК+КС=25+4=29 см 
3) S=АК*ВС:2=15*10:2=145 см2 
Ответ: 145 см2
11. а) В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 6 см, площадь треугольника равна 24 см2. Найдите сумму расстояний от точки на основании  треугольника до его боковых сторон.
      б) В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 12 см, площадь треугольника равна 56 см2. Найдите сумму расстояний от точки на основании  треугольника до его боковых сторон.
Решение:
а)
Дано: АВС- равнобедренный треугольник;
АВ=ВС=6 см;
S=24 cм2
О - точка на основании треугольника АВС
Найти: d(O, AB)+d(O, BC)

 Решение:
1) Найдем площадь треугольника АВО:
S=OK*AB:2=OK*6:2=3OK;
2) Найдем площадь треугольника ВСО:
S=OМ*BС:2=OМ*6:2=3OМ;
3) Площадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольников АВО и ВСО:
24=3ОК+3ОМ,
ОК+ОМ=24:3=8 см
Ответ: 8 см
12. а) В прямоугольном треугольнике катеты равны 9 см и 12 см. Найдите биссектрису, проведенную к гипотенузе.
      б) В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 см и 4 см. Найдите биссектрису, проведенную к гипотенузе.
Решение:
а)
Дано: АВС- прямоугольный треугольник;
АВ=12 см; АС=9 см;
АК - биссектриса
Найти: АК - ?

 Решение:
1) Найдем гипотенузу треугольника АВС:
ВС2=АВ2+АС2=81+144=225, ВС=15 см.
2) По свойству биссектрисы треугольника:
АС:АВ=КС:ВК.
Пусть КС= х см, тогда ВК=15-х см
9:12=х:(15-х),
12х=135-9х,
21х=135,
х=45/7.
3) Найдем АК по теореме косинусов:
cos С=АС:ВС=9/15=3/5
АК2=АС2+КС2-2АС*КС*cos С=677.
13. а) Найдите наибольшую высоту треугольника со сторонами 7 см, 5 см, 4 см.
      б) Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 10 см, 12 см, 8 см.
Решение:
а)
1) Найдем площадь треугольника по формуле Герона:
2) Наибольшая высота проведена к меньшей стороне, следовательно высота проведена к стороне, равной 4 см. Зная площадь треугольника и сторону, к которой высота проведена, найдем высоту:
S=h*4:2, 


14. а) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
      б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Решение:
а)
Дано: АВС - треугольник;
АМ, ВК, СN - медианы
Доказать: медианы пересекаются в одной точке

 Доказательство:
1) Докажем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, начиная от вершины:
Пусть точка Е - середина АО, точка F - середина СО.
Рассмотрим четырехугольник ENMF, его стороны NM и EF параллельны и равны, т.к. являются средними линиями треугольников АВС и АОС с общим основанием АС. Тогда ENMF - параллелограмм, следовательно, МО=ЕО, NO=OF (диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам). Т.к. АЕ=ЕО=ОМ, то АО:МО=2:1, аналогично СО:ОN=2:1.
2) Докажем, что и медиана ВК проходит через точку О:
Пусть медианы ВК и АМ пересекаются в точке Н. Тогда ВН:НК=2:1 и АН:НМ=2:1, но, тогда точки О и Н делят медиану АМ в отношении 2:1, следовательно, они совпадают и медиана ВК проходит через точку О. 
15. а) АК - биссектриса треугольника АВС. NK||AC, NM||BC,  К лежит на ВС, М лежит на АС, N лежит на АВ и AN=5 см, NB= 3 см, ВК= 4 см. Найти МС.
      б) АК - биссектриса треугольника АВС. NK||AC, NM||BC,  К лежит на ВС, М лежит на АС, N лежит на АВ и AN=6 см, СК= 8 см, ВК= 7 см. Найти МС.
Решение:
а)
Дано: АВС - треугольник;
АК - биссектриса;
NK||AC, NM||BC;
AN=5 см, NB= 3 см, ВК= 4 см
Найти:  МС - ?

 Решение:
1) Рассмотрим треугольник ANK:
знак углаКАС=знак углаAKN как внутренние накрест лежащий при параллельных прямых NK и АС и секущей АК. По условию АК биссектриса и знак углаВАК=знак углаКАС, следовательно знак углаВАК=знак углаАКN и треугольник АNК - равнобедренный и AN=NK=5 cм.
2) Рассмотрим четырехугольник MNKC:
MNKC - параллелограмм, т.к. NK|| MC и NM || KC, следовательно NK=MC=5 cм
Ответ: 5 см

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Укажите медиану данного треугольника.
2. Определите, из какого набора отрезков можно построить треугольник:
а) 10 см, 2 см, 5 см;   б) 9 см, 9 см, 12 см;   в) 3 см, 4 см, 5 см.

3. Найдите площадь треугольника со сторонами 5 см, 7 см, 8 см.

4. Найдите сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 8 см.

5. Острые углы в прямоугольном треугольнике относятся как 1:2. Найдите угол, лежащий напротив меньшего катета.

 6. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Площадь треугольника АОС равна 64 см, где О - середина АМ. Найдите площадь треугольника АВС.

7. Найдите сторону треугольника ВС, если АС равно 12 см, АВ=6 см, а биссектриса внешнего угла при вершине А пересекается со стороной СВ в точке К и ВК=8 см.

8. В равнобедренном треугольнике, высота, проведенная к боковой стороне делит ее на отрезки 8 и 6 см, считая от вершины. Найдите площадь треугольника.

9. Внутри равностороннего треугольника взята точка К. Доказать, что сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника постоянная величина.

10.  В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК к сторонам треугольника. АК=9 см, КВ=2 см, ВМ=3 см. Найдите величину МС.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ


Подписаться на: Сообщения (Atom)