МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Касательная, хорда, секущая к окружности
Касательная
Касательная имеет с окружностью только одну общую точку. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания.а - касательная,
А - точка касания,
ОА - радиус окружности,
a┴OA
Отрезки касательных
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
а, b - касательные,
а, b - касательные,
ВС=СА,
∠ВСО=∠ОСАУгол между касательной и хордой
Градусная мера угла, сторонами которого служат касательная и хорда, равна половине градусной меры дуги, расположенной внутри этого угла.
а - касательная,
А - точка касания,
ВА - хорда,
∠ВАС= половине градусной меры дуги АВ.
Если через точку, лежащую вне круга провести касательную и секущую, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и ее внешней части.
а - касательная,
А - точка касания,
CD - секущая,
Если хорды пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.
CF, AB - хорды,
а - касательная,
А - точка касания,
ВА - хорда,
∠ВАС= половине градусной меры дуги АВ.
Свойство касательной и секущей
а - касательная,
А - точка касания,
CD - секущая,
СА2=СВ*СD.
Свойство хорд
CF, AB - хорды,
CK*KF=AK*KB
Длина вычисляется по формуле: С=2πR.
Длина дуги вычисляется по формуле: l=C*α:360 или l=πRα:180. α - градусная мера дуги.
OFB - сектор
KCA - сегмент
Площадь круга вычисляется по формуле: S=πR2.
Площадь сектора вычисляется по формуле: S=πR2 *α : 360.
Площадь сегмента находят как разность площадей сектора и треугольника: S=S сектора КОС - S треугольника КОС.
В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Центр окружности - точка пересечения биссектрис треугольника.
Свойство секущих
Если через точку, лежащую вне круга провести две секущие, то произведение длин секущей и ее внешней части одной секущей равно произведению длин секущей и ее внешней части другой секущей.
CD, CF - секущие,
CD*CB=CF*CA.
CD, CF - секущие,
CD*CB=CF*CA.
Длина окружности. Длина дуги
Длина вычисляется по формуле: С=2πR.
Длина дуги вычисляется по формуле: l=C*α:360 или l=πRα:180. α - градусная мера дуги.
Площадь круга. Площадь сектора. Площадь сегмента
KCA - сегмент
Площадь круга вычисляется по формуле: S=πR2.
Площадь сектора вычисляется по формуле: S=πR2 *α : 360.
Площадь сегмента находят как разность площадей сектора и треугольника: S=S сектора КОС - S треугольника КОС.
Описанные многоугольники
В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Центр окружности - точка пересечения биссектрис треугольника.
Если в прямоугольный треугольник вписать окружность, то радиус можно найти по формуле: r=(a+b-c):2, где a,b - катеты, с- гипотенуза треугольника.
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны.
a+b=c+d
Площадь описанного многоугольника: S=p*r, где р - полупериметр многоугольника, r - радиус окружности.
В прямоугольном треугольнике R=c:2, где с - гипотенуза.
Если около четырехугольника описана окружность, то суммы градусных мер противолежащих углов равны 180°.
∠А+∠С=∠В+∠D=180°
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны.
a+b=c+d
Площадь описанного многоугольника: S=p*r, где р - полупериметр многоугольника, r - радиус окружности.
Вписанные многоугольники
Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Радиус описанной окружности можно найти по формуле: 2R=a: sin α, где а - сторона треугольника и α - противолежащий ей угол.В прямоугольном треугольнике R=c:2, где с - гипотенуза.
Если около четырехугольника описана окружность, то суммы градусных мер противолежащих углов равны 180°.
∠А+∠С=∠В+∠D=180°
УПРАЖНЕНИЯ
1. Сколько общих точек имеют прямая а и окружность с центром в точке О и радиусом, равным отрезку ОА?
Решение:
а) две
Решение: 2.
2. а) К окружности из точки А проведены две касательные. В и С - точки касания. Радиус окружности равен 3 см, АВ=5 см. Найдите АС.
б) К окружности из точки С проведены две касательные. В и А - точки касания. Радиус окружности равен 5 см, СВ=4 см. Найдите АС.
Решение:
а) АС и ВС - касательные, проведенные из одной точки к окружности, а отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки равны, следовательно АВ=АС=5см.
Ответ: 5 см.
3. а) Можно ли около четырехугольника описать окружность?
б) Можно ли в четырехугольник вписать окружность?
Решение:
а) Если около четырехугольника описана окружность, то суммы градусных мер противолежащих углов равны 180°, но 82°+97°=179°, что не равно 180°.
Ответ: нельзя.
4. В окружности радиусом R хорды AD и BC параллельны. Найдите расстояние между хордами, если:
а) R=5 см, AD=8 см, ВС=6 см. б) R=10 см, AD=16 см, ВС=12 см.
Решение:
а) Возможны два случая: хорды лежат по одну сторону от центра окружности и по разные. Рассмотрим оба.
О1О2- расстояние между хордами.
1) Рассмотрим треугольник ВОС - равнобедренный (ОВ=ОС=R), следовательно ОО2 является высотой и медианой и СО2=ВО2=ВС:2=3 см. По теореме Пифагора найдем ОО2: ОО22=ОС2-СО22=25-9=16, ОО2=4 см.
2) Рассмотрим треугольник АОD - равнобедренный (ОD=ОA=R), следовательно ОО1 является высотой и медианой и AО1=DО1=AD:2=4 см. По теореме Пифагора найдем ОО1: ОО12=ОA2-AО12=25-16=9, ОО1=3 см.
3) В случае, когда хорды лежат по одну сторону от центра О1О2=4-3=1 см.
В случае, когда хорды лежат по разные стороны от центра, то О1О2=4+3=7 см.
Ответ: 1 см или 7 см.
5. а) В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°, боковая сторона равна 6 см. Найдите радиус описанной окружности.
б) В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, угол при основании равен 75°. Найдите радиус описанной окружности.
Решение:
а)
Дано: АВС- равнобедренный треугольник; АВ=6 см;
∠
ABC=120°; w(O,OC) - описана около Δ АВС.
Найти: R -?
R=AB: sin∠ А=6: sin 30°=6:0,5=12 см.
Ответ 12 см.
6. Радиус окружности равен 6 см.
а) Найдите длину дуги, которая содержит 120°.
б) Найдите площадь сектора, если его центральный угол равен 150°.
Решение:
а) l=πR*α : 180=π*6*120 : 180= 4π см.
Ответ: 4π см
7. а) Одна из сторон вписанного треугольника лежит на диаметре. Радиус описанной окружности равен 10 см. Одна из сторон треугольника равна 16 см. Найдите площадь треугольника.
б) Одна из сторон вписанного треугольника лежит на диаметре. Радиус описанной окружности равен 25 см. Одна из сторон треугольника равна 14 см. Найдите площадь треугольника.
Решение:
а) Дано: Δ АВС; w(O,R) - описана около Δ АВС;
R=10 см; ВС=16 см.
Найти S треугольника АВС.
1) Если сторона вписанного треугольника лежит на диаметре, то этот треугольник прямоугольный. АС=2R=20 см.
2) По теореме Пифагора найдем АВ: АВ2=АС2-ВС2=400-256=144, АВ=12 см.
3) Найдем площадь треугольника: S=AB*BC : 2=12*16:2=96 см2.
Ответ: 96 см2.
8. Найдите угол х:
Решение:
а) 1) Найдем длину дуги АВ:
∠АСВ - вписанный в окружность и он равен половине дуги АВ, следовательно дуга АВ равна 50°*2=100°.
2) Угол между хордой СВ и касательной, проходящей через точку С равен половине дуги, которая находится внутри угла, тогда дуга ВС равна 75°*2=150°.
3) Найдем дугу СА:
дуга СА=360°-дуга АВ - дуга ВС=360°-100°-150°=110°.
4) ∠АВС - вписанный в окружность и равен половине дуги СА, т.е. ∠АВС =110°:2=55°.
Ответ: 55°.
9. а) Радиус описанной около треугольника окружности равен 10 см. Две стороны треугольника равны 12 см и 20 см. Найдите площадь треугольника.
б) Радиус описанной около треугольника окружности равен 18,5 см. Две стороны треугольника равны 37 см и 12 см. Найдите площадь треугольника.
Решение:
а)
2) АС = 20 см; АВ=12 см. Найдем по теореме Пифагора ВС: ВС2=АС2-АВ2=400-144=256, ВС=16 см.
3) Найдем площадь треугольника: S=AB*BC : 2=12*16:2=96 см2.
Ответ: 96 см2.
10. а) Окружность радиуса 5 см вписана в равнобедренную трапецию с боковой стороной 16 см. Найдите площадь трапеции.
б) Окружность вписана в равнобедренную трапецию с боковой стороной 8 см и площадью 48 см2. Найдите радиус окружности.
Решение:
а)
Дано: АВСD - равнобедренная трапеция;
АВ=СD=16 см; w(O,R) - описана около трапеции; R=5 см.
Найти S трапеции ABCD.
1) Т.к. в трапецию вписана окружность, то AD+DC=AB+CD=6+6=12 см - сумма оснований трапеции.
2) Высота равна двум радиусам вписанной окружности: КМ=2R=10 см.
3) Найдем площадь трапеции:
S=(AD+DC)*KM:2=12*10:2=60 см2
Ответ: 60 см2
11. а) Найдите площадь прямоугольной трапеции, если точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию делит большую боковую сторону на отрезки 4 см и 9 см.
б) Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, точкой касания делит большую боковую сторону на отрезки 4 см и 16 см. Найдите площадь трапеции.
Решение:
а)
CF= 4 см; FD=9 см.
Найти: S трапеции ABCD - ?
1) Рассмотрим треугольники ОКС и OFC, они равны по третьему признаку равенства треугольников:
OK=OF как радиусы;
СF=CK как отрезки касательных, проведенных из одной точки;
ОС - общая сторона.
Тогда ∠КСО=∠FCO и СО - биссектриса ∠KCF.
2) Рассмотрим треугольники ОMD и OFD, они равны по третьему признаку равенства треугольников:
OM=OF как радиусы;
DM=DF как отрезки касательных, проведенных из одной точки;
ОD - общая сторона.
Тогда ∠MDО=∠FDO и DО - биссектриса ∠MDF.
3) Сумма углов трапеции равна 360°, т.к. ∠А=∠В=90°, то ∠С +∠D=360°-180°=180°.
∠OCF + ∠ODF= (∠A + ∠D):2=180°:2=90°. Тогда в треугольнике OCD ∠COD=180°-90°=90°.
4) Треугольник OCD - прямоугольный. OF2=CF*FD=4*9=36. OF=6 см - радиус вписанной окружности.
АВ=2r=12 см.
5) Т.к. трапеция описана около окружности, то AD+DC=AB+CD=12+(4+9)=25 см - сумма оснований трапеции.
6) Найдем площадь трапеции:
S=(AD+DC)*KM:2=25*12:2=150 см2.
Ответ: 150 см2.
12. Найдите угол х:
Решение:
а)
1) Найдем сумму углов А и С:
∠А + ∠С=180° -∠С=180°-70°=110°.
2) Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис треугольника, тогда ∠ОАС=∠ВАС:2 и ∠ОСА=∠ВСА:2.
Сумма углов ОАС и ОСА равна половине суммы углов А и С и равна 55°.
3) Найдем угол х:
Сумма углов треугольника АОС равна 180°, тогда ∠х=180°-(∠ОАС+∠ОСА)=180°-55°=125°.
Ответ: 125°.
13. а) Доказать, что если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты трапеции равен произведению ее оснований.
б) Доказать, что если в прямоугольную трапецию можно вписать окружность, то площадь трапеции равна произведению оснований.
Решение:
а)
Дано: AВCD - равнобедренная трапеция;
окружность вписана в трапецию.
Доказать: ВК2=ВС*АD.
Доказательство:
1) Обозначим основание ВС - а, основание AD - b. ВС=КМ и АК=(AD-DC):2=(b-a):2.
2) Т.к. в трапецию вписана окружность, то АВ+CD=DC+AD=a+b, а т.к. трапеция равнобедренная, то АВ=(a+b):2.
3) Найдем высоту ВК трапеции:
треугольника АВК - прямоугольный и по теореме Пифагора BK2=AB2-AK2
Следовательно, BK2=BC*AD. Что и требовалось доказать.
14. а) Стороны треугольника равны 9 см и 6 см, угол между ними равен 60°. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около треугольника.
б) Сторона треугольника равна 9 см, угол, прилежащий к ней равен 60°. Площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около треугольника равна 39π см2. Найдите вторую сторону, которая прилежит к заданному углу.(№ 5.5.47 [7])
Решение:
а)
Дано: АВС - треугольник;
АВ=6 см; АС=9 см; ∠ВАС=60.
Найти: S круга, ограниченного описанной окружностью.
1) Найдем сторону ВС:
по теореме косинусов ВС2=АВ2+АС2+2АВ*АС*cos∠A=36+81-2*6*9*0,5=63.
S=(AB*AC*sin ∠A) :2=(6*9*sin 60) :2,
S=πR2=21π см2.
Ответ: 21π см2.
1. Заданы две окружности с радиусами R1 и R2. Расстояние между радиусами d. Как расположены окружности, если:
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
а) R1=5 см; R2=3 см; d=7 см; б) R1=5 см; R2=3 см; d=8 см; в) R1=5 см; R2=3 см; d=6 см; г) R1=5 см; R2=3 см; d=2 см?
2. Чему равен радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 18 см, 24 см, 30 см?
3. Можно ли в четырехугольник с последующими сторонами 6 см, 12 см, 18 см, 12 см вписать окружность?
4. В окружности радиуса 5 см проведена хорда длиной 8 см. Найти расстояние от центра окружности до хорды.
5. В угол A вписана окружность с центром в точке О , В и С - точки касания. Угол ВОС равен 120°. Найдите угол ВАО.
6. Найдите угол ВАС, если ∠ВОС -∠ВАС=50°.
7. В прямоугольную трапецию с основаниями 4 и 9 см вписана окружность. Найдите площадь трапеции.
8. Радиус окружности. вписанной в прямоугольный треугольник равен 2 см. Найдите площадь треугольника, если гипотенуза равна 10 см.
9. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью вписанной в ромб, если периметр ромба равен 200 см и одна диагональ больше другой в 0,75 раза.
10. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 см и 6 см. Центр описанной окружности лежит на большем основании.
3. Можно ли в четырехугольник с последующими сторонами 6 см, 12 см, 18 см, 12 см вписать окружность?
4. В окружности радиуса 5 см проведена хорда длиной 8 см. Найти расстояние от центра окружности до хорды.
5. В угол A вписана окружность с центром в точке О , В и С - точки касания. Угол ВОС равен 120°. Найдите угол ВАО.
6. Найдите угол ВАС, если ∠ВОС -∠ВАС=50°.
8. Радиус окружности. вписанной в прямоугольный треугольник равен 2 см. Найдите площадь треугольника, если гипотенуза равна 10 см.
9. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью вписанной в ромб, если периметр ромба равен 200 см и одна диагональ больше другой в 0,75 раза.
10. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 см и 6 см. Центр описанной окружности лежит на большем основании.
