МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Преобразование многочлена в произведение двух или нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены) называется разложением многочлена на множители.
Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки
Вынести за скобки общий множитель: 4х4
– 8х3 + 2х2 -18х.
1) Каждый член многочлена 4х4
– 8х3 + 2х2 -18х можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен 2х: 2х×2х3 – 2х×4х2 + 2х×х -2х×9.
2) Воспользуемся распределительным законом умножения и вынесем 2х - общий множитель за скобки: 2х(2х3
– 4х2 + ×х
-9).
Получим:
Разложение многочлена на множители способом группировки
Если члены многочлена не имеют общего множителя, отличного от 1, то можно попытаться разложить такой многочлен способом группировки.
Для этого надо объединить в группы те члены, которые имеют общие множители, и вынести за скобки общий член каждой группы. Если после таких преобразований окажется общий множитель у всех получившихся групп, то его вынести за скобки.
Разложить многочлен на множители: 10ay – 5cy +2ax-cx.
1) Объединим в первую группу 10ay и 2ax, а во вторую группу -5cy и -cx: (10ay и 2ax) + (-5cy и -cx) .
2) В первой группе вынесем за скобки общий множитель 2а, во второй группе вынесем за скобки общий множитель -с: 2а(5у+х)-с(5у+х).
3) Как видим, оба члена многочлена имеют общий множитель (5y+х), вынесем его за скобки: (5y+х)(2а-с).
Получим: 10ay – 5cy +2ax-cx=
Формулы сокращенного умножения
Разложить некоторые многочлены на множители можно при помощи формул сокращенного умножения.
1. x2-y2=(x-y)(x+y)
2. x2+2xy+y2=(x+y)2
3. x2-2xy+y2=(x-y)2
4. x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
5. x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
6. x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
7. x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3.
Разложить на множители: 2x2-4x+2.
1) Вынесем 2 - общий множитель за скобки: 2(x2-2x+1).
2) Воспользуемся формулой №3 - квадрат разности: 2(x-1)2.
Получим: 2x2-4x+2= 2(x-1)2.
Разложение квадратного трехчлена на множители
Выражение вида ax2+bx+c называется квадратным трехчленом.
Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2), где х1 и х2
– корни трехчлена.
Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен можно представить в виде ax2+bx+c = a(x-x1)2, где х1
– корень трехчлена.
Разложить на множители: x2+5x-6
D=52-4×1×(-6)=25+24=49=72
x1=(-5+7):2=1, x2=(-5-7):2=-6.
Получим:
x2+5x-6=(x-1)(x+6).
УПРАЖНЕНИЯ
1. а) Известно, что a и b - цифры. Выпишите формулу, выражающую число х, состоящее из a сотен, 7 десятков и b единиц:
1) х=100b+70+a; 2) x=100a+70+b; 3) x=ab; 4)x=700+10a+b.
б) Известно, что m и n - цифры. Выпишите формулу, выражающую число у, состоящее их 5 сотен, m десятков и n единиц:
1) y=100m+50+n; 2)y=100n+50+m; 3) y=5mn; 4) y=500+10m+n.
Решение:
а) а сотен - это 100а, 7 десятков - это 70, b единиц - это просто b. Число х=100а+70+b/
Ответ: 2)
2. а) Известно, что s-t=-1,3. Укажите выражение, значение которого равно 2,6:
1) (t-s)2; 2) (t-s):2; 3) 2(t-s); 4) s-t-1,3.
б) Известно, что m-n=-2,1. Укажите выражение, значение которого равно 4,2:
1) (n-m)2; 2) (m-n):2; 3) -2(m-n); 4) m-n-2,1.
Решение:
а) Т.к. s-t=-1,3, то t-s=1,3. 1) (t-s)2=1,32=1,69; 2) (t-s):2=1,3:2=0,65;
3) 2(t-s)=2×1,3=2,6; 4) s-t-1,3=-1,3-1,3=-2,6.
Ответ: 3).
3. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х2-7х+10; б) х2-10х+16.
Решение:
а) Найдем дискриминант: D=49-40=9. Вычислим корни: x1=(7+3):2=5; x2=(7-3):2=2.
Тогда х2-7х+10=(х-5)(х-2).
Ответ: (х-5)(х-2).
4. Сократите дробь:
Решение:
а) В числителе вынесем за скобки общий множитель 9b:
5. Сократите дробь:
6. Упростите выражение:
7. Разложите многочлен на множители:
Решение:
а) Сгруппируем первое со вторым слагаемые и третье с четвертым:
2x+4y-xy-2y2=(2x+4y)+(-xy-2y2)=2(x+2y)-y(x+2y)=(x+2y)(2-y).
Ответ: (х+2у)(2-у).
8. Найдите, при каких значениях переменной не имеет смысла выражение:
Решение:
а) Выражение не имеет смысла, если знаменатель равен нулю. Найдем значения переменной х, при которых a2-16a равно нулю:
a2-16a=0,
а(а-16)=0,
а=0 или а-16=0,
а+0 или а=16.
Ответ: 0; 16.
9. Сократите дробь:
Решение:
а) Вынесем в числителе общий множитель а за скобки, в знаменателе за скобки вынесем общий множитель b:
10. Сократите дробь:
Решение:
11. Разложите на множители:
Решение:
а) Вынесем общий множитель 2 за скобки, затем воспользуемся формулой квадрата разности и формулой разности квадратов: 2х2-20ху+50у2-2=2(x2-10xy+25y2-1)=2((x-5y)2-1)=2(x-5y-1)(x-5y+1).
Ответ: 2(x-5y-1)(x-5y+1).
12. Сократите дробь (№ 2/4/17 [7]:
Решение:
13. Упростите выражение:
Решение:
а) 2(25a2-4) можно представить в виде 2(5а-2)(5а+2), тогда в числителе воспользуемся формулой квадрата суммы, а в знаменателе - квадрата разности:
14. а) Первое натуральное число при делении на 5 дает остаток 2, а другое - остаток 3. Найдите, какой остаток получится при делении на 5 удвоенного произведения этих чисел.
б) Первое натуральное число при делении на 9 дает остаток 6, а другое - остаток 1. Найдите, какой остаток получится при делении на 9 произведения суммы и разности этих чисел.
Решение:
а) Обозначим первое число х, тогда используя формулу деления с остатком его можно записать следующим образом: х=5b+2.
Обозначим второе число у, по формуле деления с остатком у=5а+3.
Найдем удвоенное произведение этих чисел:
2ху=2(5b+2)(5a+3)=(10b+4)(5a+3)=50ab+30b+20a+12=5(10ab+6b+4a+2)+2.
Мы представили удвоенное произведение в виде формулы деления с остатком на 5, следовательно остаток равен 2.
Ответ: 2.
15. Найдите х из пропорции (№ 2.5.28 [7]:
Решение:
а) Преобразуем числитель первой дроби:
25-n2-2mn-m2=25-( n2 +2mn+m2)=52-(n+m)2=(5-(n+m))(5+(n+m))=(5-n-m)(5+n+m).
Преобразуем знаменатель первой дроби:
б) Известно, что m и n - цифры. Выпишите формулу, выражающую число у, состоящее их 5 сотен, m десятков и n единиц:
1) y=100m+50+n; 2)y=100n+50+m; 3) y=5mn; 4) y=500+10m+n.
Решение:
а) а сотен - это 100а, 7 десятков - это 70, b единиц - это просто b. Число х=100а+70+b/
Ответ: 2)
2. а) Известно, что s-t=-1,3. Укажите выражение, значение которого равно 2,6:
1) (t-s)2; 2) (t-s):2; 3) 2(t-s); 4) s-t-1,3.
б) Известно, что m-n=-2,1. Укажите выражение, значение которого равно 4,2:
1) (n-m)2; 2) (m-n):2; 3) -2(m-n); 4) m-n-2,1.
Решение:
а) Т.к. s-t=-1,3, то t-s=1,3. 1) (t-s)2=1,32=1,69; 2) (t-s):2=1,3:2=0,65;
3) 2(t-s)=2×1,3=2,6; 4) s-t-1,3=-1,3-1,3=-2,6.
Ответ: 3).
3. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х2-7х+10; б) х2-10х+16.
Решение:
а) Найдем дискриминант: D=49-40=9. Вычислим корни: x1=(7+3):2=5; x2=(7-3):2=2.
Тогда х2-7х+10=(х-5)(х-2).
Ответ: (х-5)(х-2).
4. Сократите дробь:
Решение:
а) В числителе вынесем за скобки общий множитель 9b:
5. Сократите дробь:
Решение:
а) В числите воспользуемся формулой разности квадратов, в знаменателе вынесем общий множитель 3 за скобки.
6. Упростите выражение:
Решение:
а)
7. Разложите многочлен на множители:
а) 2x+4y-xy-2y2; б) xy-6x+3y-2x2.
Решение:
а) Сгруппируем первое со вторым слагаемые и третье с четвертым:
2x+4y-xy-2y2=(2x+4y)+(-xy-2y2)=2(x+2y)-y(x+2y)=(x+2y)(2-y).
Ответ: (х+2у)(2-у).
8. Найдите, при каких значениях переменной не имеет смысла выражение:
а) Выражение не имеет смысла, если знаменатель равен нулю. Найдем значения переменной х, при которых a2-16a равно нулю:
a2-16a=0,
а(а-16)=0,
а=0 или а-16=0,
а+0 или а=16.
Ответ: 0; 16.
9. Сократите дробь:
а) Вынесем в числителе общий множитель а за скобки, в знаменателе за скобки вынесем общий множитель b:
10. Сократите дробь:
11. Разложите на множители:
а)2х2-20ху+50у2-2; б)3х2+12у2+12ху-12.
Решение:
а) Вынесем общий множитель 2 за скобки, затем воспользуемся формулой квадрата разности и формулой разности квадратов: 2х2-20ху+50у2-2=2(x2-10xy+25y2-1)=2((x-5y)2-1)=2(x-5y-1)(x-5y+1).
Ответ: 2(x-5y-1)(x-5y+1).
12. Сократите дробь (№ 2/4/17 [7]:
13. Упростите выражение:
а) 2(25a2-4) можно представить в виде 2(5а-2)(5а+2), тогда в числителе воспользуемся формулой квадрата суммы, а в знаменателе - квадрата разности:
14. а) Первое натуральное число при делении на 5 дает остаток 2, а другое - остаток 3. Найдите, какой остаток получится при делении на 5 удвоенного произведения этих чисел.
б) Первое натуральное число при делении на 9 дает остаток 6, а другое - остаток 1. Найдите, какой остаток получится при делении на 9 произведения суммы и разности этих чисел.
Решение:
а) Обозначим первое число х, тогда используя формулу деления с остатком его можно записать следующим образом: х=5b+2.
Обозначим второе число у, по формуле деления с остатком у=5а+3.
Найдем удвоенное произведение этих чисел:
2ху=2(5b+2)(5a+3)=(10b+4)(5a+3)=50ab+30b+20a+12=5(10ab+6b+4a+2)+2.
Мы представили удвоенное произведение в виде формулы деления с остатком на 5, следовательно остаток равен 2.
Ответ: 2.
15. Найдите х из пропорции (№ 2.5.28 [7]:
а) Преобразуем числитель первой дроби:
25-n2-2mn-m2=25-( n2 +2mn+m2)=52-(n+m)2=(5-(n+m))(5+(n+m))=(5-n-m)(5+n+m).
Преобразуем знаменатель первой дроби:
n2+nm+5m-25=(n2
Подставим в пропорцию результаты, которые получили:
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.
Выпишите выражение, являющееся квадратом разности выражений t
и 5m:
1) t2-(5m)2; 2) (t-5m)2; 3)t2 : 25m2; 4) (5mt)2; 5)t2-5m.
2.
Результатом разложения на множители многочлена a2c2-4 является выражение:
1) -2(a-с)(a+с); 2) a2(c-2)(c+2); 3) (ac-2)(ac+2); 4) (ac-2)2.
3.
Разложите на множители:
1) 27с2-75; 2) 12х2-27.
4. Сократите дробь:
5. Разложите на множители:
1)
8x2y2-72x2z2;
2) 5x2y2-80x2z2;
3) 2x+4y-xy-2y2;
4) 3x-6y+xy-2y2.
1) b2c2-4bc-b2-c2+1; 2) a2+x2-a2x2+4ax-1.
81x2+4y2+9x-2y-36xy+5, если 4,5х-у=1,5
1) (a2+a+4)2+8a(a2+a+4)+15a2 2) (a2+4a+8)2+3a(a2+4a+8)+2a2.
10. Сократите дробь:
